Foro Práctico 8

Hola Sol, 

El ejercicio te pide estudiar la continuidad y existencia de derivadas direcionales a la funciòn:

$f(x,y)=xy\sin{\frac{1}{x}}\cos{\frac{1}{y}}$ si $xy\neq 0$ y $f(x,y)=a$ en caso contrario.

Notar que si $x\to 0$ entonces  $\dfrac{1}{x}\to \infty$ por lo que Taylor no es el enfoque adecuado. 

En este caso, podes usar el hecho que el las funciones  seno  y coseno son acotadas y que el limite del producto de una funcion que tiende a cero por una acotada es cero.

Por ejemplo estudiemos, primero la continuidad en $(0,0)$ para determinar $a$:

Sabemos que si $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)} xy=0$ y que $-1\leq \sin \frac{1}{x} \cos \frac{1}{y}\leq 1$ luego 

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=xy\sin\frac{1}{x}\cos{\frac{1}{y}}=0$, como $f(0,0)=a$ para que $f$ sea continua en $(0,0)$, $a=0$.

Luego la función toma la forma:

$f(x,y)=xy\sin \frac{1}{x}\sin{\frac{1}{x}}\cos{\frac{1}{y}}$ si $xy\neq 0$ y $f(x,y)=0$ en caso contrario.

Habria que:

• Estudiar conrtinuidad para los puntos de la forma $(x,0)$ con $x\neq 0$ (eje 0x) y los puntos $(0,y)$ con $y$ diferente de $0$ (eje 0y)
• Estudiar las derivadas direccionales cuando $xy=0$, también te sugiero separar el caso $(0,0)$, luego el eje 0x y el eje 0y

Espero que puedas avanzar...