Hola, estoy tratando de resolverlo pero creo que no hay datos suficientes, lo que se puede hacer es:
\( \langle u+v.u \rangle = ||u+v||. ||u|| . cos \frac{ \pi }6 \) De acá podemos poner lo datos que nos da la letra y quedaría
\( \langle u+v.u \rangle = ||u+v||. 3 . \frac{ \sqrt{3} }2 \) Pero con esto no podemos despejar nada porque \( ||v|| \neq v \)
No encuentro si hay alguna forma de seguir el ejercicio ¿Como podría hacer?
Hola Daniel,
Como ya fue expresado en una consulta anterior, la idea es lograr plantear $$||u+v||$$ en función de $$||v||$$. Esta parte tiene bastante más cuentas que la parte (a) pero la idea es esencialmente la misma.
Acá te dejo la consulta donde se explica como desarrollar la idea. Cualquier duda preguntá de nuevo.
https://eva.fing.edu.uy/mod/forum/discuss.php?d=180892#p411478
Saludos
Gracias profe, estoy viendo de resolverlo de esa manera pero no encuentro el modo, se que el ángulo entre \( u \) y \( v \) es \( \frac{\pi}4 \)
con eso puedo saber que el producto escalar entre esos dos vectores es \( \langle u.v\rangle= ||u||.||v||.cos \frac{\pi}4 \)
Algo similar ocurre con el producto escalar de los vectores \( u \) y \( u + v\)
\( \langle u+v.u\rangle= ||u+v||.||u||.cos \frac{\pi}6 \) lo que pude entender de la parte anterior es que
\( ||u+v|| = \langle u+v . u+v\rangle= \sqrt{u^2+v^2+2.u.v} \)
¿Esta bien la solución encaminada por ahí?
Está bien encaminada si, faltaría desarrollar el producto $$\langle u+v,u\rangle=\langle u,u\rangle + \langle v,u\rangle=||u||^2+||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}}$$.
Sustituyendo estos valores llegás a la ecuación
$$||u||^2+||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}}=\sqrt{||u||^2+||v||^2+2||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}}}.||u||.\cos{\frac{\pi}{6}}$$
en donde tu única incógnita es $$||v||$$. Para resolver esta ecuación te recomiendo primero dividir ambas partes de la igualdad entre $$||u||$$ y luego elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado (fijate que del lado derecho te queda algo de la forma $$(a+b)^2$$ lo cual es equivalente a $$a^2+2ab+b^2$$ mientras que del lado derecho tenés algo de la forma $$(\sqrt{c}.d)^2$$ lo cual resulta en $$c.d^2$$.
Saludos
Gracias profe, el primer desarrollo si lo entiendo pero no comprendo como haces para llegar de \( ||u||^2+||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}} \) a \( \sqrt{||u||^2+||v||^2+2||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}}}.||u||.\cos{\frac{\pi}{6}} \)
Creo que eso es lo que me estaría trancando
Saludos
No es que llegue a $$\sqrt{||u||^2+||v||^2+2||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}}}.||u||.\cos{\frac{\pi}{6}}$$ partiendo de $$||u||^2+||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}}$$
La parte de la izquierda de la igualdad, es decir, $$||u||^2+||u||.||v||.\cos{\frac{\pi}{4}}$$ sale de desarrollar $$\langle u,u\rangle + \langle v,u\rangle$$.
Por otra parte, lo que se tiene a la derecha de la igualdad, sale de plantear que $$\langle u+v,u\rangle= ||u+v||.||u||.cos \frac{\pi}6$$ y que a su vez $$||u+v|| = \sqrt{||u||^2+||v||^2+2\langle u,v\rangle}$$.
Es decir, por una parte se desarrolla el producto interno $$\langle u+v,u\rangle$$ mediante la definición y luego se desarrolla el término $$||u+v||$$ mientras que por otra parte se desarrolla el mismo producto interno $$\langle u+v,u\rangle$$ pero aplicando propiedades del producto interno y luego desarrollando de acuerdo a su definición. Una vez desarrollado este producto por dos caminos distintos, dado que es esencialmente el mismo producto, se igualan ambos desarrollos y se determina $$||v||$$.