CDIVV-2S: Duda con cambio de variable

Buenas, no entiendo si puedo decir que se mantiene la convergencia cuando hago un cambio de variable.

Esta duda se me generó con el ejercicio 5, 2, con la integral impropia de sen(t^2), utilice la sugerencia pero solo para reescribir sen(t^2). En vez de hacer partes, hice un cambio de variable. Concretamente: t^2=u du=2tdt.

Entonces cuando hago el cambio me queda: $\int_{}^{}{sen(u)/ \sqrt[]{u} }$ .

Lo que no se es si puedo decir que como la integral impropia de $sen(x)/ \sqrt[]{x}$ converge, también lo haría la integral impropia de $sen(u)/ \sqrt[]{u}$ .

Gracias, saludos!

Re: Duda con cambio de variable

de Veronica Rumbo - miércoles, 30 de septiembre de 2020, 10:45

Hola Ivan. Lo importante es tener en cuenta que cuando hacés un cambio de variable, estás resolviendo la misma integral con otras etiquetas. Hay que mirar con cuidado los extremos de integración

Capaz que para reafirmar esto te conviene volver a pensarlo en un contexto de integrales definidas. Si vos tenés que hallar la integral $\int_a^b f(x)dx$ y lo hacés a través de un cambio de variable $u(x)$ , te va a quedar expresado como "otra" integral con extremos $u(a)$ y $u(b)$ .

La integral impropia es considerar límite en un extremo de integración (en el caso del ejercicio, $b \rightarrow +\infty$ . Entonces al cambiar de variable tu integral impropia queda con el extremo superior de integración tendiendo a $\lim u(b)$ (cuando b tiende a infinito).

En el ejemplo que vos planteás dicho limite es $+ \infty$ en ambos casos.