Foro Práctico 5

Hola

El criterio de convergencia absoluta vale siempre. Lo que sucede en este caso es que no hay convergencia absoluta. Una forma de intentar usar convergencia absoluta sería algo así:

Para ver si $\int_0^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \ dx$ es convergente estudio la convergencia absoluta, es decir, si $\int_0^{\infty} \frac{\lvert\cos x\rvert}{\sqrt{x}} \ dx$ es convergente. Si logro probar esta última convergencia entonces vale la convergencia sin valor absoluto (eso dice el teorema).

Esta última integral es convergente si y sólo si  $\int_0^1 \frac{\lvert\cos x \rvert}{\sqrt{x}} \ dx$ y $\int_1^{\infty} \frac{\lvert\cos x \rvert}{\sqrt{x}} \ dx$ ambas convergen.

Para $\int_0^1 \frac{\lvert\cos x\rvert}{\sqrt{x}} \ dx$ tenemos que $\frac{\lvert\cos x\rvert}{\sqrt{x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ entonces

la integral impropia es de la misma clase que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx$ la cual es convergente. Por lo tanto $\int_0^1 \frac{\lvert\cos x\rvert}{\sqrt{x}} \ dx$ es convergente.

Ahora la segunda integral es lo problemático.   $\int_1^{\infty} \frac{\lvert\cos x\rvert}{\sqrt{x}} \ dx$ NO es convergente. Es por esto que $\int_0^{\infty} \frac{\lvert\cos x\rvert}{\sqrt{x}} \ dx$ NO converge y por lo tanto $\int_0^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \ dx$ NO converge absolutamente... Es por esto (supongo yo) que en dicha clase no encararon por convergencia absoluta, porque no hay convergencia absoluta