Ejercicio 1) 6) a)

Ejercicio 1) 6) a)

de Ezequiel Delevan Lavarello -
Número de respuestas: 4

Hola, 

Cómo están?


Traté de encarar este ejercicio por los determiantes. Sabiendo que A y B son invertibles, se que el det A y B es distinto de 0.

Luego calculando el determinante de C, llego a que : det |C| = AB y no estoy seguro de como seguir o que afirmar y de que manera algo teniendo en cuenta eso.

No descarto haber errado de encare, ( que no venga por el lado de los determianantes) pero tampoco llegue a algo pensandolo por otro lado.

Si me dieran una mano para encaminarme estaría genial!

Muchas gracias,

Ezequiel


En respuesta a Ezequiel Delevan Lavarello

Re: Ejercicio 1) 6) a)

de Bruno Dominguez -

Hola Ezequiel,

Si llegaste a que |C|=|A||B|, entonces ya quedaría probado xq como |A|,|B|≠0, entonces |C|≠0 y por lo tanto C invertible. Pero, cómo llegaste a que |C|=|A||B|? Te pregunto por las dudas, xq esto no es trivial.

Lo que podes hacer también (guiándote un poco la parte b), es encontrar $$C^{-1}$$ pensado que cuando hagas $$C.C^{-1}$$ te tiene que dar la matriz identidad.

Cualquier cosa preguntá de nuevo.

Saludos
En respuesta a Bruno Dominguez

Re: Ejercicio 1) 6) a)

de Juan Jose Varela Irigoyen -

Buenas tardes Bruno

Quería corroborar que lo que planteé es correcto:

.

Gracias!

En respuesta a Juan Jose Varela Irigoyen

Re: Ejercicio 1) 6) a)

de Juan Jose Varela Irigoyen -

Respecto a la parte b del mismo ejercicio,

Me tranqué y no lo estoy logrando resolver.

¿Me podrían indicar donde le estoy errando?




En respuesta a Juan Jose Varela Irigoyen

Re: Ejercicio 1) 6) a)

de Bruno Dominguez -

Hola Juan,

En la parte a está bien el resultado, pero por cómo hiciste la parte b me parece que la pensaste mal.

Pensemos en la parte b: Tengo una matriz \( C = \begin{pmatrix} A & B \\ O_{m \times n} & D \\ \end{pmatrix} \) y me dicen que \( C^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ O_{m \times n} & D^{-1} \\ \end{pmatrix} \).

Como planteaste, se tiene que cumplir que $$CC^{-1}=I_{n+m \times n+m}$$:

$$\begin{pmatrix} A & B \\ O_{m \times n} & D \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ O_{m \times n} & D^{-1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n & O_{n \times m} \\ O_{m \times n} & I_m \\ \end{pmatrix}$$??

Pensemos cómo sería para calcular la entrada $$i_{11}$$ del producto de las matrices $$CC^{-1}$$. Empezaríamos tomando la primer fila de $$A$$ y la primer columna de de $$A^{-1}$$, cuando se termina la fila de $$A$$ tengo que seguir con la primera fila de $$B$$ (para completar la primera fila de $$C$$) y esa se multiplica por la primer columna de $$O_{m \times n}$$. Si esto lo repito para todas las filas donde está $$A$$ y las columnas de $$A^{-1}$$, voy a llegar a que en el primer cuadrante (por llamarlo de alguna manera) del producto de $$CC^{-1}$$ tendría: $$AA^{-1}+BO_{m \times n}=I_n$$.

De esta manera podes pensar cómo quedan los demás y revisar xq la parte a está bien. Cualquier cosa preguntá de nuevo.

Saludos