Ejercicio 2 parte c)

Ejercicio 2 parte c)

de Facundo Gil Perez -
Número de respuestas: 5

Buenas, se me complico en la parte c del ejercicio 2. No logro llegar al resultado correcto y mis planteos me generan dudas.

Para calcular el potencial en todo el espacio pense en usar coordenadas esfericas y tome 

r=(r)er  --> vector radial segun coordenadas esfericas

r'=(a)er


Lo que me genera duas es que me quedo lo siguiente

|r-r'|=|r-a|


Al hacer todo el procedimiento y calcular la integral llegue al siguiente resultado:

(Ga^2)/Eo|r-a|    --->(siendo Eo la permitividad del vacio y G la densidad superficial de carga)

Al hacer el estudio de casos logro llegar al resultado del caso r>a pero no logro concretar bien la solucion.

Desde ya gracias.



En respuesta a Facundo Gil Perez

Re: Ejercicio 2 parte c)

de Juan Tomas Urruzola Abdala -

Hola Facundo, todo bien?


Tenés un pequeño error conceptual en tus cuentas, tus vectores r y r' no apuntan en el mismo sentido, por lo que no podés escribirlos los dos como r*er y a*er.

La idea es que te saques ese valor absoluto escribiéndolo de otra forma: | r\vec{e_r} - a\vec{e_r'}|= \sqrt{r^2+a^2-2racos( \theta )} , con ese ultimo 2racos( \theta ) surgiendo del producto escalar de  \vec{e_r} con \vec{e_r'} .

Una vez expresado de esta forma, un cambio de variable te va a ser útil para resolver la integral y el resultado de la misma va a depender de si te parás afuera o adentro del cascarón (es decir, varía según si r<a o r>a), ya que deberías llegar a un resultado de la forma \sqrt{(r-a)^2} , que es igual a |r-a|, que puede ser r-a o a-r según la región del espacio en la que te pares.


Espero haber sido claro y que te sea de ayuda! A veces puede ser medio complejo expresarse a través de los foros así que si tenés dudas volvé a preguntar e intentaré reformular. Igual estos problemas se van a ver en los prácticos así que también vas a tener esa instancia para aclarar algunas dudas.


Suerte!
En respuesta a Juan Tomas Urruzola Abdala

Re: Ejercicio 2 parte c)

de Facundo Gil Perez -
Hola Juan, estuve intentando el ejercicio y me surgió otra duda, el ángulo theta que aparece cuando calculas el modulo de los vectores posición restados, no seria un ángulo desconocido? Dado que nos piden calcular el potencial en todo el espacio no entiendo porque ese ángulo tendría algo que ver con el ángulo theta de la parametrizacion de la esfera.

Gracias, espero haber sido claro.

En respuesta a Facundo Gil Perez

Re: Ejercicio 2 parte c)

de Facundo Gil Perez -

Perdón que responda tan rápido a mi comentario pero este ejercicio me esta llevando bastante y no se bien porque, se me ocurrió que a lo mejor se podría usar un argumento de simetría y acomodar la esfera de manera que el ángulo entre ambos vectores siempre sea el theta de mis coordenadas esféricas. No se si este razonamiento es acertado o existe otra explicación.

En respuesta a Facundo Gil Perez

Re: Ejercicio 2 parte c)

de Ricardo Marotti -


No es un ángulo desconocido, sino que es un parámetro de integración. 

El ángulo θ al que hace referencia Tomas (que es el ángulo entre los vectores \vec{r} y \vec{r'} , es el ángulo de coordenadas esféricas que, junto a un ángulo φ de revolución, te permite recorrer toda la superficie esférica, y son las variables sobre las que hay que integrar para obtener el potencial. O sea, para una pareja θ, φ me paro en un punto de la superficie, y a medida que ellos varían, de 0 a π el ángulo θ, y de 0 a 2π el ángulo φ, recorro toda la superficie esférica. Son las variables que permiten parametrizar la posición  \vec{r'} de las cargas que generan el potencial. Al integrar en esos ángulos considero la contribución de todas las cargas, y el resultado de la integral no depende de ellos. O sea,  \vec{r'} recorre toda la superficie esférica mientras \vec{r} , el punto en el que quiero calcular el potencial, se puede considerar fijo. El resultado dependerá de este último, no del primero

Pero además, el potencial al que se quiere llegar, no depende de ningún ángulo, porque al tener el problema simetría esférica, el potencial solo depende de r, la distancia del punto del espacio en que se quiere calcular el potencial al centro de la esfera,.Esto es porque todos los puntos que tienen la misma distancia all centro de la esfera, están en las misma condiciones físicas. Entonces el potencial no puede depender de ningún ángulo.