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Hola Margaret, buen día.

Nos piden que la partícula tenga un movimiento circular uniforme relativo al aro. Para ello debemos ver que la coordenada que describe la posición relativa de la partícula en el aro $\varphi$ debe satisfacer que: $\ddot \varphi=0$ o lo que es igual $\dot \varphi =\omega_o$ con $\omega_o$ constante y por ende $\varphi (t) = \omega_o t + \varphi_o$

De imponer esto en la ecuación de movimiento se obtiene que: $\cos \varphi (\omega^2 \sin \varphi - \frac{g}{R} \sin \omega t)=0$

Debemos igualar tanto el argumento de los senos como las constates multiplicativas:

1. $\varphi (t)=\omega t$

2. $\omega^2=\frac{g}{R}$

Espero haber aclarado tu duda!