En el caso que tu dices, que hace referencia al Teorema 6, no es el teorema de los residuos, sino el teorema de representación, lo que es similar:
n(gama, a) f(a) = (1/2pi i)int_gama f(z)/(z-a)dz
EL teorema de los residuos viene después. Tiene dos partes, la primera cuando las cantidad de singularidades aisladas es finita. Luego, viene un aparte un poco delicada (es un argumento topológico), de cuando la cantidad de singularidades es infinita.
Pero todo está en el libro, solo que antes del enunciado.
Saludos