Florencia
Hola, hace tiempo que tengo la siguiente duda: he leído en varios ejemplos que la función e´(z) presenta en el infinito una singularidad esencial. Cómo se demuestra esto? Muchas gracias. Saludos
Primero que nada, si queremos ver que pasa con una función f(z) en infinito, debemos estudiar que pasa con f(1/z) en 0.
Segundo, para ver si una singularidad es esencial, lo más fácil es ver que no es ni evitable ni polo. Pero eso es equivalente a que no existe el límite cuando se tiende a dicha singularidad, pues en los polo el límite también existe, aunque es infinito.
Tercero, en el caso particular de e^z, deberíamos estudiar el límite de e^(1/z) cuando z tiende a 0, pero mejor estudiar directamente e^z cuando z tiende a infinito.
Bueno, espero que con estas ayudas te salga el estudio.
Saludos
Hola Eduardo, muchas gracias por la respuesta. Todo lo que me contestaste lo tenía presente. Creo es el cálculo mismo lo que me trancó. Pensé usar el Taylor de e^(1/z) y hallar el limite cuando z--> 0. Lo que no es ni 0 ni inf. Puede ser?
Gracias
Saludos
Florencia
Primero: La verdad es que no sé como podes a usar el Taylor de e^(1/z) para hallar el límite cuando z-->0, porque solo podés hacer el desarrollo con centro en un "a" distinto de 0.
Segundo: el límite puede ser 0, infinito, o cualquier otro complejo, ojo con eso. Así que si demostrás que no es ni 0 ni infinito, no alcanza.
La seguimos.
Saludos
En respuesta a Eduardo Canale
Re: Clasificación de singularidades
Tengo la misma duda, lo que plantee fue:
Como no existe el límite de e^z cuando z tiende a infinito, no es aislada.
Tampoco puede ser un polo ya que el límite, con z tendiendo a infinito, de e^z / z^k con k natural no existe. (Condicion equivalente a que infinito es un polo)
De acuerdo a lo que tu escribiste, luego de esas dos condiciones, ¿infinito es una singularidad esencial?
En respuesta a Agustin Eduardo Rodriguez Esteva
Re: Clasificación de singularidades
de Eduardo Canale -
que no exista el límite no tiene nada que ver con que sea aislada: que p sea una singularidad aislada es que la función no esté definida en p pero si en un entorno reducido de p. Las singularidades esenciales son por definición aisladas, así que si una singularidad no es aislada no puede ser esencial.
Para que sea un polo el límite con z tendiendo a infinito, de e^z, tiene que ser infinito, es decir, existe pero es infinito. Sino podés poner que e^z.z^k existe para algún k y es finito o cero, si querés (no e^z/z^k).
Para ver que la singularidad es esencial, tenés que ver que es aislada y que no existe el limite cuando z tiende a ella.
Yo lo pense asi:
Para mostrar que es aislada en el infinito, probe que para z mayor que un R (tan grande como quiera), la funcion es holomorfa, y eso sale de que e^z es holomorfa en todo el plano complejo no?
Despues para probar que el limite no existe, dije z=x+iy, entonces,lim e^z= lim e^x(cosy +iseny) y el limite de cosy y seny en infinito como funcion real no existe, y por lo cual no existe el limite. Esta bien este razonamiento?
Para mostrar que es aislada en el infinito, probe que para z mayor que un R (tan grande como quiera), la funcion es holomorfa, y eso sale de que e^z es holomorfa en todo el plano complejo no?
Despues para probar que el limite no existe, dije z=x+iy, entonces,lim e^z= lim e^x(cosy +iseny) y el limite de cosy y seny en infinito como funcion real no existe, y por lo cual no existe el limite. Esta bien este razonamiento?