Foro Práctico VIII

La velocidad angular tiene una única componente no nula en una dirección $\hat{u}$ que está en el plano de la placa, es perpendicular a dos barras y paralela a las otras dos. En las cardinales o en las ecuaciones de conservación el tensor de inercia aparece multiplicado por la velocidad angular, por lo que si este está expresado en una base propia que incluya a este versor:

$\mathbb{I}_C \vec{\omega} = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \omega \\ 0 \end{pmatrix} = I_2 \omega \hat{u}$

El momento de inercia con respecto al eje $\hat{u}$ es el que aparece en la solución. Para hallar este $I_2$ hay que sumar las contribuciones de todas las barras: Sumar el momento de inercia de cada barra con respecto a su centro de masa y sumarle el término de Steiner para trasladar hasta el centro. Pero las cuatro barras contribuyen de forma diferente: El momento de inercia de las barras "verticales" con respecto a su centro de masa es cero (la dirección de las barras coincide con el versor $\hat{u}$, la componente (2,2) del tensor de inercia es cero), pero al trasladar hasta C tenemos una contribución de $M a^2 / 4$ por cada barra. 

Luego, las barras "horizontales" tienen un momento de inercia de $M a^2 / 12$ con respecto a su centro de masa, pero el punto C y los centros de masa de estas barras están sobre el eje $\hat{u}$, entonces el término de Steiner en este caso es cero (la componente (2,2) de la matriz de Steiner es cero). 

El momento de inercia total es entonces:

$I_2 = 2 \times \frac{M a^2}{4} + 2 \times \frac{M a^2}{12}$

Llegando al resultado que aparece en la solución.

No se puede multiplicar el momento de inercia de una barra por cuatro porque las barras no están todas en la misma situación. Hay que calcularlo de a pares de barras. Pensemos en el cálculo del momento de inercia según $\vec{u_2}$ (para el momento según la dirección $\vec{u_1}$ es igual por simetría). 

Para las barras que son paralelas a $\vec{u_1}$ al aplicar Steiner, la distancia entre el centro de masas y y la recta paralela a $\vec{u_2}$ que pasa por C es cero, porque esta recta pasa por el centro de masas de las barras. Entonces el momento de inercia para estas barras queda solo el momento según $\vec{u_2}$ que pasa por el centro de masas que es $\frac{Ma^2}{12}$. Hay que multiplicarlo por 2 porque son dos barras en esta situación. 

Para las otras dos barras (que son paralelas a $\vec{u_2}$), el momento de inercia de estas barras según $\vec{u_2}$ en el centro de masa, es cero. Luego hay que sumar la masa por la distancia al cuadrado del centro de masas a la recta que pasa por C y es paralela a $\vec{u_2}$. Esta distancia es $\frac{a}{2}$. Por lo tanto el momento de inercia según $\vec{u_2}$ en C para estas barras es $\frac{Ma^2}{4}$, que hay que multiplicarlo por 2 porque son dos barras. 

Esa es la cuenta que se hace en la solución del ejercicio de examen.