Foro Práctico IV

Hola,

Lo que se conserva en el movimiento central es el momento angular con respecto al origen de la fuerza central. Esta cantidad se define como

$\vec{L}_O = m\vec{r}\times\vec{v}$

Antes de seguir adelante, te comento que el s'imbolo $\times$ se reserva para el producto vectorial. En tus f'ormulas lo usas para el producto entre n'umeros que en general no lleva simbolo. Ese uso es bastante confuso.

La preintegral del movimiento a la cual referis es la componente del momento angular en la direccion perpendicular al plano en el que transcurre el movimiento. Digamos que en este ejercicio el movimiento transcurre en el plano definido por los versores $\hat{i}$ y $\hat{j}$. Entonces la cantidad conservada se define como 

$l = m(\vec{r}\times\vec{v}).\hat{k}$

Calculemos el valor de esta cantidad en el instante inicial del movimiento. Inicialmente la part'cula viene desde el infinito con un par'ametro de impacto $b$. Podemos pensar eso de la siguiente manera. Podemos escribir la posicion inicial $\vec{r}(0)$ de la siguiente manera

$\vec{r}_0 = b\hat{j} -s\hat{i}$

y usar esta expresi'on para  calcular el momento angular, eventualmente tomando el limite en que $s$ tiende a infinito, dado que la particula viene desde el infinito. 

Notar que $l$ es una cantidad conservada, por lo que podemos calcular su valor en el instante inicial y este se va a mantener en todo el movimiento.

Si la velocidad inicial de la partícula la escribimos como

$\vec{v}(0) = v_0\hat{i}$

entonces tenemos

$l = m(\vec{r}(0)\times\vec{v}(0)).\hat{k} = m((b\hat{j} -s\hat{i} )\times v_0\hat{i}).\hat{k} = -mbv_0$

que es el resultado de la soulci'on, a menos de un signo que es convencional (nosotros tomamos $\hat{k}$ para arriba) y que no afecta el resto del problema por que $l$ aparece siempre elevado al cuadrado. Nota que $s$ desaparecio del calculo, asi que tomar el limite $s$ tendiendo a infinito es trivial.

Espero que esto responda tu pregunta. Cualquier cosa no dudes en repreguntar