MecNew: 1er parcial 2008 - ej 2

Hola! En este ejercicio una masa m se mueve sobre el cascarón de una esfera.

La pregunta a) pide probar que la componente vertical del momento angular se conserva respecto a el punto O, además, pide que otra magnitud se conserva.

Mis dudas son:

1) La normal del ejercicio es una fuerza de potencia no nula. Ahora la energía se conserva debido a que desplazamiento de la masa es siempre perpendicular la normal por lo tanto no haría trabajo?

2) Esto no lo pide pero la componente según mi versor er del momento angular se conserva?

No me permite adjuntar el razonamiento

Utilize coordenadas polares para describir el movimiento.

Re: 1er parcial 2008 - ej 2

de Esteban Mato - jueves, 21 de mayo de 2020, 15:45

La reacción normal es siempre perpendicular a la esfera. Dado que la partícula está confinada a moverse sobre su superficie, la normal es siempre pependicular a la velocidad por lo que es de potencia nula, no hace trabajo. La superficie es lisa y la otra fuerza que actúa es el peso: la energía se conserva.

Luego, ojo con la segunda parte, porque el versor $\hat{e}_r$ no es constante, si bien es cierto que

$\vec{M}_O \cdot \hat{e}_r = 0 ~ \rightarrow ~ \frac{d \vec{L}_0}{dt} . \hat{e}_r = 0$

Para tener que el momento angular en la dirección $\hat{e}_r$ sea constante (que suena medio raro porque la dirección no es constante en sí) se debe tener:

$\frac{d (\vec{L}_O . \hat{e}_r)}{dt} = \frac{d \vec{L}_O}{dt} . \hat{e}_r + \vec{L}_0 . \frac{d \hat{e}_r}{dt} = 0$

Observar que al ser el versor variable, el segundo sumando no es cero, por lo que el producto escalar del momento externo con esa dirección sea cero no asegura la igualdad anterior.