Foro Práctico III

Hola Vanessa,

tu pregunta tiene varias partes, voy contestando de acuerdo a como tenés desarrollado el problema y está en las imágenes:

i) el factor de 4 que te sobra proviene de que el vector posición de la masa $m$ no está bien escrito y debería cumplir:

$\vec{r} \cdot \hat{i} = \ell( 2 -cos \theta )$

$\vec{r} \cdot \hat{j} = \ell sen \theta$

con lo que al derivar hallás la velocidad correcta y de ahí en más el ejercicio va a ir bien.

ii) La energía del sistema es:

$E=T+U=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+U(\theta)$,

y usando que esta cantidad se conserva en el tiempo ($\frac{dE}{dt}=0$) podemos derivar $E$:

$\frac{dE}{dt}=\frac{d(T+U)}{dt}=0$

y obtener de allí la ecuación de movimiento (ojo de aquí en más porque ví en tu desarrollo que considerás la derivada de la energía cinética respecto de $\theta$ y de $U$ con respecto a $\dot{\theta}$, vamos a ver cómo derivar correctamente).  Derivemos entonces la energía:

$\frac{d(T+U)}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)+\frac{d}{dt}(U(\theta))$,

en cada término usamos la regla de la cadena adecuadamente:

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)=\frac{d}{d \dot{\theta}}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)\frac{d\dot{\theta}}{dt}$,

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\ell^2 \dot{\theta}^2)=\frac{d}{d \dot{\theta}}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)\ddot{\theta}=m\ell^2\dot{\theta}\ddot{\theta}$.

Para el siguiente término procedemos análogamente:

$\frac{d}{dt}(U(\theta))=\frac{d}{d\theta}(U(\theta))\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{d\theta}(U(\theta))\dot{\theta}$,

con lo que juntando los dos términos te queda:

$m\ell^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+\frac{d}{d\theta}(U(\theta))\dot{\theta}=0$,

o lo que es lo mismo:

$[m\ell^2\ddot{\theta}+\frac{d}{d\theta}(U(\theta))]\dot{\theta}=0$,

$m\ell^2\ddot{\theta}+\frac{d}{d\theta}(U(\theta))=0$.

Hasta ahí las derivadas temporales que deberías revisar. Al llegar a la ecuación de movimiento fijate que las posiciones de equilibrio (correspondientes a todas las derivadas temporales nulas, es decir en este caso $\ddot{\theta}=0$) se dan para $\frac{dU}{d\theta}=0$, y allí conectamos con tus preguntas acerca de la energía potencial:

iii) los puntos de equilibrio, en sistemas donde se conserva la energía (o no conservativos preintegrables) son aquellos donde la energía potencial (o potencial eficaz) tiene extremos relativos:

$\frac{dU}{d\theta}=0$

No sé si pude capturar todas tus dudas, cualquier cosa volvé a preguntar nomás.

Saludos,

Ariel.