Foro Práctico IV

La definici'on de trabajo de una fuerza $\vec{F}$ a lo largo de una curva $C$ est'a dada por la integral de linea

$W_{\vec{F},C} = \int_C \vec{F}.d\vec{l}$

En este ejercicio queremos tomar $C$ la curva cerrada de la figura. Si el trabajo de la fuerza que estamos considerando no es cero en esta curva, podemos concluir que la fuerza no es conservativa.

Para calcular el trabajo a lo largo de la curva conviene separar la curva en cuatro tramos, dos tramos radiales y dos arcos de circunferencia. el trabajo total va a ser la suma de los trabajos en cada uno de los tramos.

Veamos como calcular la integral en cada uno de los tramos. La clave es ver como parametrizar la curva y escribir el diferencial $d\vec{l}$ en cada tramo. Obviamente es conveniente utilizar coordenadas polares.

En los tramos curvos el diferencial $d\vec{l}$ se puede escribir en t'erminos del radio del tramo $R$ y el diferencial de arco $d\varphi$de la siguiente manera  

$d\vec{l} = Rd\varphi \hat{e}_{\varphi}$

La integral queda en terminos de una integral en la variable $\varphi$, siendo los limites de integracion $\varphi_1$ y $\varphi_2$. Resta hacer el producto interno entre $d\vec{l}$ y la fuerza. Cuanto da este producto? 

OJO: en realidad hay que tener cuidado con el sentido con el que se recorre la curva (esto cambia el signo del trabajo). Pero la respuesta a la pregunta de la linea anterior te va a indicar que esto no importa demasiado para los tramos curvos. si es importante para los tramos rectos, que describo a continuacion.

Vamos a ver como calcular el trabajo en uno de los tramos curvos, suponiendo que lo recorremos en el sentido de menor a mayor radio. En este caso el diferencial $d\vec{l}$ queda

$d\vec{l} = dr \hat{e}_{r}$

La variable de integracion es en este caso $r$ y los limites son $\rho_1$ y $rho_2$. Nuevamente para hallar el integrando debes hacer el producto escalar entre  $d\vec{l}$ y la fuerza. Para hallar en el otro tramo recto usas la misma idea, teniendo cuidado con que si recorres la recta de afuera hacia adentro o de adentro hacia afuera cambia el signo, y tienes que ser consistente en como son los recorridos para formar una curva cerrada.

Te preguntaras tambien como se llega a estas formulas. Una forma de calcular una integral de linea a traves de una curva $C$ cualquiera es pensar que la integral se recorre con una trayectoria en funcion del tiempo dada por una funcion $\vec{r}(t)$. Entonces la integral de linea puede escribirse  

 \int_C \vec{F}.d\vec{l} \) =  \int_C \vec{F}.\vec{v}(d)dt \)

siendo $\vec{v}(t)$ la velocidad asociada a $\vec{r}(t)$. Resulta que el resultado de la integral de linea (asumiendo que la fuerza solo depende d la posicion) no depende de la funcion $\vec{r}(t)$ que uno elija. Una forma de llegar a las formulas que escribi antes entonces es tomando velocidad constante para los tramos rectos y velocidad angular constante para los tramos curvos.

espero que esto te sirva. si necesitas aclarar algo no dudes en repreguntar.

saludos

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