Foro Práctico IV

Hola,

El comentario de Federico est'a correcto. Como la fuerza es central, el momento angular se conserva. Adem'as, esta fuerza central es isotr'opica. Es decir, es de la forma $\vec{F} = f(r)\hat{e}_r$ con $f(r)$ s'olo dependiente de  $r= |\vec{r}|$. Cuando una fuerza central es isotr'opica, es necesariamente conservativa. Por lo tanto en este problema tambi'en se conserva la energ'ia. Tener estas dos cantidades conservadas implica que el problema se puede reducir a un problema de un 'unico grado de libertad, la coordenada $r$. Es m'as, la din'amica de la coordenada $r$ queda regida por una ecuaci'on de conservaci'on de la forma

$\frac{m\dot{r}^2}{2} + U_{eff}(r) = E$     (1)

donde $U_{eff}(r)$ es el potencial efectivo, dado por 

$U_{eff}(r) = \frac{l}{2mr^2} + U(r)$

siendo  $U(r)$ el potencial asociado a la fuerza central (que como dijimos es conservativa) y   $l$ se puede hallar en funci'on de las condiciones iniciales.

A los efectos de la parte b) de este problema, lo importante es que la ec de conservaci'on (1) se puede pensar como una ec de conservaci'on de la energ'ia para una part'icula que se mueve en una dimensi'on descrita por la coordenada $r$ bajo la acci'on de un potencial  $U_{eff}(r)$. 

La clave para resolver la parte b) es la siguiente. Las condiciones iniciales del movimiento fijn $E$ y $l$. Fijadas estas constantes, la ecuaci'on (1) te dice cuales van a ser las regiones en $r$ accesibles para la part'icula. Estas son aquellas donde $\frac{m\dot{r}^2}{2} > 0$, o lo que es lo mismo, las regiones en $r$ donde $E > U_{eff}(r)$. 

Si te fijas la forma del potencial efectivo para este problema, este tiende a menos infinito para $r$ tendiendo a cero, tiene un m'aximo, y tiende a cero para $r$ tendiendo a infinito. Llamemos a el m'aximo del potencial efectivo $U_M$. Si $E$, entonces la condici'on $E > U_{eff}(r)$ se va a cumplir en dos regiones en $r$: $(0,r_1)$ y $(r_2,\infty)$, siendo $r_1$ y $r_2$ los puntos en que $E = U_{eff}(r)$. Dado que la part'icula comienza su trayectoria en el infinito, su movimiento se va a ver limitado a la regi'on $(r_2,\infty)$. Es decir, la particula va a partir desde el infinito, su radio va a ir disminuyendo a medida que se acerca al origen de fuerzas hasta que el radio llega al punto de retroceso $r_2$ y ah'i se va a empezar alejar del origen de la fuerza central. Es decir, la part'icula no va a llegar al origen de la fuerza central.

Para que esto suceda, es necesario que $E>U_M$. En ese caso la region permitida es $(0,\infty)$ y la part'icula se acerca indefinidamente al origen de fuerzas.

saludos

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