Foro Práctico IV

Hola,

Te tiro algunas ideas de como pensar este tipo de ejercicios. A medida que lo vayas haciendo te surgiran dudas mas especificas. En ese caso pregunta nuevamente y lo vamos discutiendo.

El punto clave es que la fuerza que actúa sobre el proyectil es lo que llamamos una fuerza central. Es decir, la fuerza sobre el proyectil tiene siempre dirección en la recta que va desde el proyectil al blanco. Esto tiene una consecuencia muy importante: el momento angular del proyectil con respecto al blanco en este problema se conserva. (vale la pena que repases el teorico para entender precisamente por qu'e esto es así )

El problema es claramente bidimensional. (Esto de hecho es una caracteristica de el movimiento bajo fuerzas centrales, debido a la conservacion del momento angular). Voy a usar coordenadas polares $r$ y $\varphi$ con origen en el blanco para describir el movimiento del proyectil. Voy a llamarle  $O$ al origen de coordendas (punto donde se encuentra el blanco).

Calculemos el momento angular de la particula en terminos de las coordenadas polares:

El vector posición de la part'icula, medido en el sistema de coordenadas descrito anteriormente, es  $\vec{r} = r\hat{e}_r$.

La velocidad de la particula está dada entonces por  $\vec{v} = \dot{r}\hat{e}_r\ + r\dot{\varphi}\hat{e}_{\varphi}$.

El momento angular de la particula con respecto al punto en que se encuentra el blanco esta dado entonces por

$\vec{L}_O = m\vec{r}\times\vec{v} = m r^2 \dot{\varphi}\hat{k}$. Dado que  $\vec{L}_O$ se conserva, podemos concluir que $m r^2 \dot{\varphi}$ es constante en el tiempo. En particular, es igual a su valor en el instante inicial  $l_0$. Es decir que tenemos

$m r^2 \dot{\varphi} = l_0$

Donde $l_0$ se puede hallar en terminos de las condiciones iniciales de la particula (velocidad con la que incide en el blanco desde el infinito y parametro de impacto inicial). La ecuacion anterior es sumamente importante, por que nos permite transformar el problema de un problema de dos grados de libertad a uno de un grado de libertad. Te resumo brevemente como es que esto sucede, para que lo intentes hacer por tu cuenta. 

Si planteas la ecuacion de newton vas a tener dos componentes. La componente segun $\hat{e}_{\varphi}$ podes verificar que es precisamente equivalente a la ecuacion $\frac{d(m r^2 \dot{\varphi})}{dt} =0$, que es justamente la conservacion de momento angular que discutimos antes.

La componente radial de la ecuacion de newton involucra $r$, $\ddot{r}$ y $\dot{\varphi}$. El paso clave es que utilizando la conservacion de momento angular $m r^2 \dot{\varphi} = l_0$ uno uede despejar $\dot{\varphi}$ en funcion de $r$ y enchufar esto en la ecuacion correspondiente a la componente radial de la ec de newton. Con esto, la ec de newton involucra solo $r$ y sus derivadas!!! Es decir que logramos pasar de un problema de dos grados de libertad a una ecuacion diferencial que solo involucra $r$.

Te recomiendo que sigas en detalle por tu cuenta todos los pasos que esboce hasta ac'a. Luego de eso, todavia falta para resolver el ejercicio. Te resumo brevemente la estrategia a utilizar.

La ecuacion diferencial que uno obtiene para $r$ de la forma mencionada anteriormente es dificil de resolver. Sin embargo, a nosotros no nos interesa $r$ en funcion del tiempo. Lo que interesa para responder la parte a) es la trayectoria de la particula, para lo cual basta con conocer en $r$ en funcion de $\varphi$. Para hallar esto conviene masajear un poco la ecuacion diferencial para r y transformarla de una ec dif para $r$ con variable independiente $t$ a una ecuacion diferencial para la funcion $u = 1/r$ con variable independiente $\varphi$. (Es decir, la funcion $u$ la pensamos como funcion de $\varphi$. ) Esta masajeada de la ec es lo que se conoce como el cambio de variable de Binet, que esta explicado en las notas. Resulta que la ec dif resulltatnte para $u$ es facilmente soluble, lo que te permite hallar la trayectoria y eventualmente responder la pregunta.

No te quise dar las cosas en demasiado detalle para que lo trates de hacer por tu cuenta. Espero que esto te sirva como empujon para arrancar. Cualquier cosa no dudes en volver a preguntar.

Saludos

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