Ejercicio 5 d

Ejercicio 5 d

de Santiago Alejandro Bosch Roascio -
Número de respuestas: 4
Tengo una duda sobre  como obtener el tiempo en la parte d. Por ahora vengo pudiendo mostrar lo que se pide, pero no se si está del todo bien.
Obtuve K = \frac{8l^2 R^2}{m} , v_0 = \sqrt{\frac{K}{32R^4m}} y U_{eff} = \frac{l^2}{2mr^2} - \frac{K}{4r^4} y vi que efectivamente E = 0 .

Ahora, al intentar ver el tiempo que demora en llegar a O, la única forma que encontré fue despejar \dot r ^2 de la energía mecánica total, con lo que \dot r= \sqrt{\frac{2}{m}(\frac{K}{4r^4} - \frac{l^2}{2mr^2})} y de ahí integrar r entre 2R y 0 y dt por el otro lado. La integral de dr queda con una singularidad en 2R (cuando U_{eff} = 0 ) y pensé que seguramente la integral divergiría pero por el criterio de comparación por paso al límite resultó ser equivalente a \int_{2R}^{0}{ \frac{dr}{\sqrt{2R-r}}} , que converge.
Estuve tratando de integrar \int_{2R}^{0}{ \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(\frac{K}{4r^4} - \frac{l^2}{2mr^2})}}} pero es muy engorrosa.

¿Hay algun lado por el cual obtener este tiempo de forma más sencilla?

Muchas gracias
En respuesta a Santiago Alejandro Bosch Roascio

Re: Ejercicio 5 d

de Nahuel Borsil Pastorino -

Hola, podrías decirme como hallaste la energía cinética?.  Lo intenté pero no me queda esa expresión y por lo tanto no llego a demostrar que  E=0

Por otro lado, para hallar el tiempo que tarda la partícula de P a O no podrías también despejar  dt de la ecuación de  \frac{d \phi}{dt} (phi punto)

y luego integrar entre  \pi y  0 ?
En respuesta a Nahuel Borsil Pastorino

Re: Ejercicio 5 d

de Santiago Alejandro Bosch Roascio -

Buen pique! Lo había pensado lo de usar \dot \phi pero me quedaba un r^2 colgado por ahí, no me di cuenta que por las aprtes anteriores podias usar la fórmula de r = 2Rsen(\phi) y te quedaba todo en función del ángulo.

Para ver que E = 0 planteé que E = m\dot r^2 + U_{eff} con U_{eff} = \frac{l^2}{2mr^2} - \frac{K}{4r^4} . Como todas las fuerzas son conservativas, E es constante e inicilamente \dot r = 0 y r = 2R . Sustituyendo y poniendo el valor de K que encontré, te da U_{eff} = 0 y como \dot r = 0 , E = 0 .
En respuesta a Santiago Alejandro Bosch Roascio

Re: Ejercicio 5 d

de Ariel Fernández -

Estimados Santiago y Nahuel: buena colaboración!

el paso clave sin dudas, tanto si quieren hallar el tiempo a partir de despejar i) \dot{r} de la conservación de la energía o ii) \dot{\varphi} del momento angular, es usar la forma polar de la curva: r=2Rsen\varphi y pasar a integrar en el ángulo entre \frac{\pi}{2} y 0.

Importante acerca de los signos  para que les de un tiempo positivo, como debe ser!:

i) \dot{r}\leq 0: la partícula se acerca al origen siempre (esto es para tener cuidado al despejar de la conservación de la energía la raiz con su signo correcto)

ii) \dot{\varphi} < 0: el ángulo decrece en el tiempo

Saludos y suerte con las cuentas!

Ariel.