Buenas !
Estaba tratando de deducir que dada una fuerza atractiva como la de la letra , se da esa trayectoria , pero me tranqué con la ecuación diferencial para U(phi).
la ecuación es de la forma
entonces multipliqué por \dot{U} , y mi duda sería si estoy bien encaminado.
Gracias !
Juan Manuel, qué tal?
Venís muy bien! Sin embargo creo que te estás complicando al final, vos solamente tenes que probar que con esa fuerza, la trarectoria es la del ejercicio, para probar esto, basta con poner esa fuerza en la ecuación de movimiento y poner la expresión de r que se te da y sus respectivas derivadas y ver que efectivamente se cumple la igualdad para un K dado. No hace falta que uses las ecuaciones de Binet para esto ni que las resuelvas, aunque si seguís por ese lado, al imponer las condiciones iniciales, deberías llegar a lo mismo, pero va a ser más complicado.
Espero que te sirva, suerte!
Tomás
sobre lo que propones :
lo hice en la parte de abajo de la foto , pero no me termina de quedar claro que implica lo que llegué : 
No lo entiendo porque : r representa la posición pero esta varía con el tiempo , entonces no sería correcto igualarla a una constante k
sobre la resolución de la ecuación diferencial :
Me propuse resolverla , porque pensé que sería util saber como se hace , pero no estoy del todo convencido del paso que hago al integrar
en la primer imagen del mensaje original
pd: te paso lo que hice por drive porque la imagen pesa mas de lo permitido x eva
https://drive.google.com/open?id=1ZkcGipIwzqzPg89jVYn1Ewws2V2gPlD4
Bien, respecto al método de substituir F y r por sus expresiones, por lo que vi tenés un error en la segunda derivada de r respecto al tiempo, esto se debe a que hiciste aparecer un r2 en la primera derivada de r respecto al tiempo y al derivar nuevamente la trataste como una constante.
Lo que te recomiendo para esto es pasarte a las ecuaciones de Binet, te van a simplificar la vida porque vas a tener derivadas respecto a θ y no respecto al tiempo.
Respecto al método de resolver la integral, lo pruebo y te digo! La verdad no había pensado en hacerlo así.
Fijate si con lo primero que te dije llegás bien!
osea pasarme a las ecuaciones de binet sería :
En la expresión
Poner las siguientes Tres :
?
Porque si hago eso vuelvo a tener una ecuación diferencial en U al igual que antes : 
no estaría terminando de entender, disculpa la insistencia
No es problema!
Lo que yo te propongo que hagas es lo siguiente:
1)Escribí u, u' y u'' en función de la expresión de r que se te dá: r(phi)=2Rsin(phi)
2)Después substituí en la primera ecuación de Binet (la 4.13 de las notas), todos los términos: la fuerza y los u y u''
3)Ahí constatá que para un valor de K constante, esa igualdad se cumple.
Espero que ahora si puedas llegar!
lujo ! llegué a
aunque hay chances de que se me haya traspapelado algo .
esto es coherente ?
porque 
y 
es variable asi como 
.
Pense que quizas era válido lo siguiente :
como 
y 
podría sustituírlos en K y con los restantes 
hallarlos para tiempo 0 tal que
y como 
se conserva , la K que halle con las condiciones iniciales , se cumple para todo tiempo posterior
PD : lo estaba editando justo jajaja
PD: ok ! reviso los signos , pero no es coherente que sea negativa dado que la fuerza es atractiva ?
Ahí si, llegaste bien a la expresión de K! Efectivamente, al conservarse l, podés escribir K en función de las condiciones iniciales y listo.