MecNew: Duda teorema de coriolis

Tengo una duda con el teorema de coriolis, en particular cuando hay varias velocidades angulares en un mismo plano.

En la formula se supone que W representa un cambio de orientacion de los ejes de S' respecto a S. El problema es que en ejercicios he tomado ese cambio haciendo adicion de velocidades angulares (por ejemplo en el ejercicio 9 y 10 del pr1) pero en otros me queda la duda si se esta tomando en cuenta (por ejemplo en el ejercicio 13 del pr2 que está resuelto en video). Si en este ultimo ejercicio no se pidiera la condicion de la parte A, debería tomar esa velocidad angular también?

Cuando no están en el mismo plano no importaría verdad?

Gracias.

Re: Duda teorema de coriolis

de Ariel Fernández - lunes, 20 de abril de 2020, 11:23

Hola,

al considerar la relación entre la derivada de una cantidad vectorial $\vec{A}$ en un sistema $S$ (fijo) y uno móvil $S'$ (ec. 1.35 de los Apuntes):

$\dfrac{d\vec{A}}{dt}=\dfrac{d'\vec{A}}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{A}$

$\vec{\omega}$ representa como bien decís el cambio de orientación de los versores del sistema $S'$ respecto del $S$ (te pongo como ejemplo esta relación fundamental a partir de la cual tenés el Teorema de Coriolis, por ejemplo).

En el ejercicio II.13 que mencionás la velocidad angular especificada $\Omega(t)\hat{k}$ (siendo $\hat{k}$ saliente al plano del dibujo) es la del cuarto de tubo $AB$ ( $S'$ ) con respecto a un sistema inercial ( $S$ ) desde el cual escribís la 2da ley de Newton. No necesitás sumar esa velocidad angular con otra ya que si fuera con respecto a un sistema intermedio, se debería haber especificado el mismo.

Además, aún cuando no tuvieras que saber nada con respecto a la evolución de $\Omega(t)$ , necesitarías igual esta velocidad angular medida con respecto a un sistema inercial, de forma que el Teorema de Coriolis te diera una expresión correcta de la aceleración con respecto a este sistema.

Espero haber interpretado correctamente tu duda, cualquier cosa no dudes en escribir de nuevo.

Saludos,

Ariel.

Re: Duda teorema de coriolis

de Vanessa Guadalupe Perez Mello - martes, 21 de abril de 2020, 00:08

Hola, no me queda claro aún

En el ejercicio 9 pr1 tomé ω= φpunto + θpunto como velocidad angular para resolver el problema. En el ejercicio 13 pr2 toman ω=φpunto.

No me doy cuenta el por qué de esa diferencia, son ejercicos que los pensé de la misma manera. Puede que esté teniendo un error en lo que son ejes del sistema y vectores para ubicar la posicion de la partícula, pero no lo se.

Adjunto la representacion de ambos.

Re: Duda teorema de coriolis

de Ariel Fernández - martes, 21 de abril de 2020, 21:45

Hola Vanessa,

me alegro de que hayas subido tus diagramas, porque tu planteo es correcto en los dos casos:

-En el ejercicio I.9 si estamos hablando de la velocidad angular de la barra $AB$ como el movimiento es plano y esa barra forma un ángulo $\varphi+\theta$ con respecto a una dirección fija, su velocidad angular será $\vec{\omega}=(\dot{\varphi}+\dot{\theta})\hat{k}$ ; lo que tal vez te puede resultar un poco confuso a priori es que el ángulo con respecto a una dirección fija sea la suma de dos, pero es la misma idea de base que si se tratara de uno solo.

-En la misma línea de lo anterior, la velocidad angular del cuarto de tubo en el ejercicio II.13 es $\dot{\varphi}\hat{k}$ de acuerdo al ángulo $\varphi$ que te definiste con respecto a una dirección fija. En la letra se trabaja directamente con la velocidad angular, asumiendo una construcción de base como la que te planteaste, pero como nada depende del ángulo $\varphi$ en sí si no de su derivada temporal $\dot{\varphi}$ que es lo que da lugar a la velocidad angular, se trabaja directamente con $\Omega(t)=\dot{\varphi}(t)$ (o la derivada de cualquier ángulo equivalente que crezca en sentido antihorario medido desde una dirección fija en el plano).

Saludos,

Ariel.

Re: Duda teorema de coriolis

de Guzman Hernandez - miércoles, 22 de abril de 2020, 00:40

Hola,

Un sistema de referencia queda definido por un punto (origen de coordenadas del sistema) y una base de versores solidaria al sistema (es decir, un conjunto de direcciones que el sistema ve "fijas").

Supongamos que un sistema de referencia $S'$ se mueve con respecto a otro $S$ . En general $S'$ se va a trasladar y va a rotar con respecto a $S$ . A los efectos de analizar como rota un sistema con respecto al otro podemos ignorar los origenes de referencia de cada sistema, basta con ver como rota la base solidaria a $S'$ con respecto a la base solidaria a $S$ . En un instante dado, esta rotación está caracterizada por la velocidad angular con la que $S'$ rota con respecto a $S$ .

He aquí entonces lo que creo que es la clave para responder tu duda: cuando uno habla de una velocidad angular, tiene que decir de qué base es y con respecto a qué base. Hablar de la velocidad angular de una base sin decir con respecto a qué base es no tiene sentido.

Te dejo algunos ejemplos para aclarar esto en los problemas que mencionas. (sigo la nomenclatura de los dibujos que adjuntas)

Ejercicio 9 Pr 1

La base $\{\hat{u}_1,\hat{u}_2\}$ rota con respecto a la base $\{\hat{e}_{\rho},\hat{e}_{\varphi}\}$ con velocidad angular $\dot{\theta}\hat{k}$

La base $\{\hat{e}_{\rho},\hat{e}_{\varphi}\}$ rota con respecto a la base $\{\hat{i},\hat{j}$ con velocidad angular $\dot{\varphi}\hat{k}$

Usando adición de velocidades angulares, la base $\{\hat{u}_1,\hat{u}_2\}$ rota con respecto a la base $\{\hat{i},\hat{j}$ con velocidad angular $(\dot{\theta}+\dot{\varphi})\hat{k}$

Ejercicio 13 Pr 2

La base $\{\hat{e}_{r},\hat{e}_{\theta}\}$ rota con respecto a la base $\{\hat{i}',\hat{j}'$ con velocidad angular $-\dot{\theta}\hat{k}$

La base $\{\hat{i}',\hat{j}'$ rota con respecto a la base $\{\hat{i},\hat{j}$ con velocidad angular $\dot{\varphi}\hat{k}$

Usando adición de velocidades angulares, la base $\{\hat{e}_{r},\hat{e}_{\theta}\}$ rota con respecto a la base $\{\hat{i},\hat{j}$ con velocidad angular $(-\dot{\theta} + \dot{\varphi})\hat{k}$

Espero que esto te sirva. Cualquier cosa no dudes en repreguntar.

Re: Duda teorema de coriolis

de Santiago Alejandro Bosch Roascio - miércoles, 22 de abril de 2020, 11:58

Yo tenía la misma duda. Si planteáramos la velocidad angular como (Ω - dθ/dt)k habría que hacer las cuentas como si {e_r, e_θ} fuese inercial, no? Y en ese caso, por ejemplo, la velocidad relativa sería 0 (en vez de ir en la dirección de e_θ ),no?

Pregunto porque estuve haciendo el ejercicio II.13 y aunque la diferencia conceptualmente es importante, los resultados quedan o quedan muy diferentes, lo que me dejó con bastante duda.

Re: Duda teorema de coriolis

de Ricardo Marotti - miércoles, 22 de abril de 2020, 13:02

Intento responder las preguntas en el contexto del Ejercicio 13, aunque no estoy seguro de haberlas entendido del todo.

El sistema $\vec{e_r}, \vec{e_ \theta } , \vec{k}$ no es inercial porque gira respecto a $O, \vec{i}, \vec{j} , \vec{k}$ , que si es inercial. Los sistemas inerciales (que son aquellos en los que vale la segunda ley de Newton) solo se trasladan con velocidad constante respecto a otro sistema inercial. Si hay un giro aparece una aceleración centrípeta, por lo tanto, el sistema está acelerado y no es inercial. Así que el sistema inercial en que vale la segunda ley de Newton es el sistema fijo $O, \vec{i}, \vec{j} , \vec{k}$ .

Si se considera como sistema móvil o relativo el sistema $O', \vec{e_r}, \vec{e_ \theta } , \vec{k}$ , que tiene la velocidad angular que vos mencionás $( \Omega - \dot{ \theta } ) \vec{k}$ respecto al sistema inercial $O, \vec{i}, \vec{j} , \vec{k}$ , la velocidad y aceleración relativas de la partícula son 0. Esto es porque la posición relativa de la partícula respecto a $O', \vec{e_r}, \vec{e_ \theta } , \vec{k}$ es:

$\vec{r'} = R \vec{e_r}$

y al derivarlo respecto a $O', \vec{e_r}, \vec{e_ \theta } , \vec{k}$ , tanto R como $\vec{e_r}$ son fijos. Así que la velocidad absoluta de P es la velocidad de arrastre, y la aceleración absoluta es la aceleración de arrastre.

Pero por esta razón yo creo que no es conveniente elegir ese sistema $O', \vec{e_r}, \vec{e_ \theta } , \vec{k}$ como sistema móvil o relativo en este ejercicio (porque la expresión de la aceleración de arrastre va a quedar complicada). Transformamos el problema de calcular la aceleración absoluta en uno de calcular la aceleración de arrastre. Es mejor tomar como sistema móvil un sistema intermedio que tenga como versores $O, \vec{i'}, \vec{j'} , \vec{k}$ que se mueve con velocidad angular $\Omega \vec{k}$ respecto al sistema inercial $O, \vec{i}, \vec{j} , \vec{k}$ y ahí usar los teoremas de movimiento relativo en que cada componente (relativa, de arrastre o Coriolis) va a tener expresiones sencillas. Por ejemplo la velocidad relativa va a ser:

$\vec{v'} = R \dot{ \theta } \vec{e_ \theta }$

porque ahora $\vec{e_r}$ ya no es fijo en el sistema $O, \vec{i'}, \vec{j'} , \vec{k}$ .

Finalmente los resultados del ejercicio, tal como aparecen en la sección de resultados del práctico, no dependen de que sistema se elija como sistema móvil o relativo, porque lo que se pide es independiente de este.