Ejercicio 7, parte b

Re: Ejercicio 7, parte b

de Ariel Fernández -
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Hola Vanessa,

tu pregunta tiene varias partes, voy contestando de acuerdo a como tenés desarrollado el problema y está en las imágenes:

i) el factor de 4 que te sobra proviene de que el vector posición de la masa m no está bien escrito y debería cumplir:

\vec{r} \cdot \hat{i} = \ell( 2 -cos \theta )

\vec{r} \cdot \hat{j} = \ell sen \theta

con lo que al derivar hallás la velocidad correcta y de ahí en más el ejercicio va a ir bien.

ii) La energía del sistema es:

E=T+U=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+U(\theta),

y usando que esta cantidad se conserva en el tiempo (\frac{dE}{dt}=0) podemos derivar E:

\frac{dE}{dt}=\frac{d(T+U)}{dt}=0

y obtener de allí la ecuación de movimiento (ojo de aquí en más porque ví en tu desarrollo que considerás la derivada de la energía cinética respecto de \theta y de U con respecto a \dot{\theta}, vamos a ver cómo derivar correctamente).  Derivemos entonces la energía:

\frac{d(T+U)}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)+\frac{d}{dt}(U(\theta)),

en cada término usamos la regla de la cadena adecuadamente:

\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)=\frac{d}{d \dot{\theta}}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)\frac{d\dot{\theta}}{dt},

donde el segundo término del producto del lado derecho es \frac{d \dot{\theta} }{dt}=\ddot{\theta}:

\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\ell^2 \dot{\theta}^2)=\frac{d}{d \dot{\theta}}(\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2)\ddot{\theta}=m\ell^2\dot{\theta}\ddot{\theta}.

Para el siguiente término procedemos análogamente:

\frac{d}{dt}(U(\theta))=\frac{d}{d\theta}(U(\theta))\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{d\theta}(U(\theta))\dot{\theta},

con lo que juntando los dos términos te queda:

m\ell^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+\frac{d}{d\theta}(U(\theta))\dot{\theta}=0,

o lo que es lo mismo:

[m\ell^2\ddot{\theta}+\frac{d}{d\theta}(U(\theta))]\dot{\theta}=0,

siendo lo que multiplica a \dot{\theta} la ecuación de movimiento (\dot{\theta}=0 es una solución trivial que dice que la energía no varía si el sistema no se mueve nunca y además viene desde el paso cero del planteo energético a partir de Newton):

m\ell^2\ddot{\theta}+\frac{d}{d\theta}(U(\theta))=0.

Hasta ahí las derivadas temporales que deberías revisar. Al llegar a la ecuación de movimiento fijate que las posiciones de equilibrio (correspondientes a todas las derivadas temporales nulas, es decir en este caso \ddot{\theta}=0) se dan para \frac{dU}{d\theta}=0, y allí conectamos con tus preguntas acerca de la energía potencial:

iii) los puntos de equilibrio, en sistemas donde se conserva la energía (o no conservativos preintegrables) son aquellos donde la energía potencial (o potencial eficaz) tiene extremos relativos:

\frac{dU}{d\theta}=0

Para contestar tu pregunta, en este análisis de equiilibrio (luego también estabilidad) tenés que derivar respecto a la coordenada. La estabilidad de la posición de equilibrio hallada se puede determinar viendo luego si el punto es un mínimo, en cuyo caso se trata de un punto de equilibrio estable (podés entonces analizar \frac{d^2U}{d\theta^2} alrededor de la posición de equilibrio y si esta derivada segunda es no nula, inferir de qué tipo de extremo se trata; si fuera nula, se aplican otras herramientas de análisis o se ven derivadas de mayor orden).

No sé si pude capturar todas tus dudas, cualquier cosa volvé a preguntar nomás.

Saludos,

Ariel.