Hola Vanessa,
tu pregunta tiene varias partes, voy contestando de acuerdo a como tenés desarrollado el problema y está en las imágenes:
i) el factor de 4 que te sobra proviene de que el vector posición de la masa no está bien escrito y debería cumplir:
con lo que al derivar hallás la velocidad correcta y de ahí en más el ejercicio va a ir bien.
ii) La energía del sistema es:
y usando que esta cantidad se conserva en el tiempo () podemos derivar :
y obtener de allí la ecuación de movimiento (ojo de aquí en más porque ví en tu desarrollo que considerás la derivada de la energía cinética respecto de y de con respecto a , vamos a ver cómo derivar correctamente). Derivemos entonces la energía:
en cada término usamos la regla de la cadena adecuadamente:
donde el segundo término del producto del lado derecho es :
Para el siguiente término procedemos análogamente:
con lo que juntando los dos términos te queda:
o lo que es lo mismo:
siendo lo que multiplica a la ecuación de movimiento ( es una solución trivial que dice que la energía no varía si el sistema no se mueve nunca y además viene desde el paso cero del planteo energético a partir de Newton):Hasta ahí las derivadas temporales que deberías revisar. Al llegar a la ecuación de movimiento fijate que las posiciones de equilibrio (correspondientes a todas las derivadas temporales nulas, es decir en este caso ) se dan para , y allí conectamos con tus preguntas acerca de la energía potencial:
iii) los puntos de equilibrio, en sistemas donde se conserva la energía (o no conservativos preintegrables) son aquellos donde la energía potencial (o potencial eficaz) tiene extremos relativos:
No sé si pude capturar todas tus dudas, cualquier cosa volvé a preguntar nomás.
Saludos,
Ariel.