Foro Práctico II

Está bien lo que escribiste. En la parte a) simplemente tenés que hallar velocidad y aceleración absolutas de la partícula y te pide que las expreses en términos de esos versores $\hat{u}_1$ y $\hat{u}_2$. Fijate que el sistema de referencia con origen en el punto en donde se desprende el hilo (al que vamos a llamar 0') y versores $\left\lbrace \hat{u}_1 , \hat{u}_2 , \hat{k} \right\rbrace$ (siendo $\hat{k}$ un versor saliente a la pantalla) es una buena opción para usar como sistema móvil al usar Roverbal tomando como sistema fijo: $0, \left\lbrace \hat{i} , \hat{j} , \hat{k} \right\rbrace$, siendo 0 el centro del disco y los versores forman una base ortogonal fija. La velocidad de la partícula sería

$\vec{v} = \vec{v}_{00'} + \vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}'$

El punto en donde se está desprendiendo el hilo hace un movimiento circular en la dirección de $\hat{u}_2$ de radio R y velocidad angular $\dot{\varphi}$:

$\vec{v}_{00'} = R \dot{\varphi} \hat{u}_2$

Visto desde el sistema móvil, como el hilo está siempre tenso, recto y en la dirección de $\hat{u}_2$, la partícula se puede mover únicamente en esta dirección "vertical". La distancia al origen 0' es cuánto hilo se ha desenrollado y está dado por la expresión que escribiste (pues el hilo no desliza): $l(t) = l_0 + R \varphi(t)$. La posición relativa al sistema móvil es entonces: $\vec{r}'= -l(t) \hat{u}_2 = - (l_0 + R \varphi(t)) \hat{u}_2$. Para obtener la velocidad relativa derivamos esto con respecto al tiempo considerando a los vectores de la base del sistema móvil como fijos, o sea:

$\vec{v}' = - \dot{l} \hat{u}_2$

Finalmente, la velocidad angular entre los sistemas fijo y móvil en este caso es simplemente $\vec{\omega} = \dot{\varphi} \hat{k}$ por lo que el último sumando es

$\vec{\omega} \times \vec{r}' = \dot{\varphi} \hat{k} \times (-l(t) \hat{u}_2) = l(t) \dot{\varphi} \hat{u}_1$

Resulta que los términos correspondientes a $\vec{v}_{00'}$ y $\vec{v}'$ se anulan entre sí. (Lo que se está moviendo la partícula visto desde el sistema móvil es básicamente lo que se desenrolla del hilo, por lo que un término cancela al otro). El resultado final entonces es:

$\vec{v} = l(t) \dot{\varphi} \hat{u}_1$

Para hallar la aceleración se puede hacer Coriolis aunque en este caso derivar directamente es bien fácil, la derivada del versor se obitene haciendo el producto vectorial de la velocidad angular con él mismo.