En primer lugar hize un cambio de variable: x=sinh(t), y=cosh(t), z=sinh(t)cosh(t), haciendo este cambio de variable nos queda una parametrización de la curva ya que x2 - y2=1 y z=xy.
Dada las condiciones iniciales tenes que t varía entre 0 y 1.
Ahora solo queda calcular la integral de xdx+ydy+zdz siendo x,y,z las coordenadas del campo después de haber hecho el cambio de variable y dx,dy,dz las "derivadas del cambio de variable").
Esa integral es igual a la integral de cosh(t)2 + sinh(t)2 -1 (ya que te queda cosh(t)2 - sinh(t)2 que es igual a -1).
La integral de cosh(t)2 = (1/2)(cosh(t)sinh(t) -t)
La integral de sinh(t)2 = (1/2)(cosh(t)sinh(t) +t)
Al evaluar ambas entre 0 y 1 te queda cosh(1)sinh(1).
Por lo tanto la solución es cosh(1)sinh(1) - 1
Espero haya sido calro y haya ayudado, cualquier cosa pregunta.