examen dic 2011 ej 3

examen dic 2011 ej 3

de Andrea Jeanina Juani Bracantti -
Número de respuestas: 6
tengo una duda sobre la resolucion porque no usa el teorema de stokes ya q el rotor del campo es 0? y porque la integral de X MAS y  dice q es 0 porq los integrandos son impares?
gracias!
En respuesta a Andrea Jeanina Juani Bracantti

Re: examen dic 2011 ej 3

de Jana Rodriguez Hertz -
El Teorema de Stokes se aplica a superficies CON BORDE. Esta superficie es la esfera unidad, que es cerrada, por lo tanto SIN BORDE.
El teorema que se está usando es el teorema de Gauss, que dice que 

\iint_S X.n dS = \iiint_V div X dV

donde V es la bola unidad encerrada por la esfera unidad S. 
la divergencia del campo da (2+ 2x+2y)

Lo que se afirma es que \iiint_V (2x+2y) dzdydz da cero. 
En efecto, tanto 2x como 2y son funciones simétricas en la bola unidad, por lo tanto su integral da cero (si no te convence, fijate haciendo las cuentas)
Saludos
Jana
En respuesta a Jana Rodriguez Hertz

Re: examen dic 2011 ej 3

de Enrique Santiago Casagrande Menendez -
Uh menos mal que lo preguntaste, la verdad tenía la idea de que el borde de la esfera era su frontera, lo cual veo es incorrecto. Gracias Jana
En respuesta a Enrique Santiago Casagrande Menendez

Re: examen dic 2011 ej 3

de Jana Rodriguez Hertz -
Pero, cuál sería el borde de la esfera? es una superficie cerrada? Stokes se refiere a superficies con borde. En ellas, el borde es una curva, por ejemplo, si tomamos la intersección de la esfera unidad con el semiplano superior (z>=0)
se obtiene una superficie con borde, cuyo borde es la circunferencia (x^2+y^2=0, z=0) Saludos, Jana
En respuesta a Andrea Jeanina Juani Bracantti

Re: examen dic 2011 ej 3

de Enrique Santiago Casagrande Menendez -
Las integrales dan cero creo que es por lo siguiente, si realizas el cambio de variable a esféricas te queda que y=rsin(u)cos(v), z=rsin(v), es decir la y te queda una función impar ya que el seno es impar y el coseno es par, la z por lo tanto tambien es impar. Una función impar integrada en dominios simétricos da cero. 
Si hacés las cuentas vas a ver que te quedan ambas cero.