Si se hace el paso inductivo para n + 1 se cumple, ahora si en la base inductiva (o sea el caso n) se asume algún número, ej 1 no se cumple, ídem para 0 u 2, a pesar de eso, podría haber algún n que queda fuera y si se cumpla, como se demuestra en el paso base que para ningún n se cumple?
En respuesta a Leandro Sebastian Lemos Barreiro
Re: Práctico 1, 1.1 - Ejercicio 4
Por absurdo:
Supongamos que $$\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k^{2}+k+2}{2}$$ para algún $$k$$ (y por lo tanto para todo $$n\geq k$$ ya que se cumple el paso inductivo).
$$\sum_{i=1}^{k-1}i=\left(\sum_{i=1}^{k}i\right)-k=\frac{k^{2}+k+2}{2}-k=\frac{k^{2}+k+2-2k}{2}=\frac{k^{2}-k+2}{2}=\frac{k^{2}-2k+1+k-1+2}{2}=\frac{(k-1)^{2}+(k-1)+2}{2}$$
También se cumpliría para $$k-1$$, y siguiendo recursivamente, para $$k-2$$, $$k-3$$, ... hasta 1.
Entonces $$\sum_{i=1}^{1}i=\frac{1^{2}+1+2}{2} \Rightarrow 1=2 \Rightarrow $$ Absurdo (el absurdo proviene de suponer que la fórmula se cumple para algún $$k$$, por lo tanto se concluye que no existe $$k$$ natural que satisfaga la fórmula).
Otra manera que se me ocurre es demostrar por inducción que $$\sum_{i=1}^{n}i\neq \frac{n^{2}+n+2}{2}$$:
Paso base: $$n=1$$
$$\sum_{i=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{1}i=1$$
$$\frac{n^{2}+n+2}{2}=\frac{1^{2}+1+2}{2}=\frac{4}{2}=2$$
Se cumple el paso base ($$1\neq 2$$).
Paso inductivo: Supongamos que $$\sum_{i=1}^{k}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i=\left(\sum_{i=1}^{k}i\right)+k+1$$
Como $$\sum_{i=1}^{k}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}$$, entonces
$$\left(\sum_{i=1}^{k}i\right)+k+1\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}+k+1$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}+k+1$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}+\frac{2k+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+k+2+2k+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+2k+1+k+1+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{(k+1)^{2}+(k+1)+2}{2}$$
Se cumple el paso inductivo.
Supongamos que $$\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k^{2}+k+2}{2}$$ para algún $$k$$ (y por lo tanto para todo $$n\geq k$$ ya que se cumple el paso inductivo).
$$\sum_{i=1}^{k-1}i=\left(\sum_{i=1}^{k}i\right)-k=\frac{k^{2}+k+2}{2}-k=\frac{k^{2}+k+2-2k}{2}=\frac{k^{2}-k+2}{2}=\frac{k^{2}-2k+1+k-1+2}{2}=\frac{(k-1)^{2}+(k-1)+2}{2}$$
También se cumpliría para $$k-1$$, y siguiendo recursivamente, para $$k-2$$, $$k-3$$, ... hasta 1.
Entonces $$\sum_{i=1}^{1}i=\frac{1^{2}+1+2}{2} \Rightarrow 1=2 \Rightarrow $$ Absurdo (el absurdo proviene de suponer que la fórmula se cumple para algún $$k$$, por lo tanto se concluye que no existe $$k$$ natural que satisfaga la fórmula).
Otra manera que se me ocurre es demostrar por inducción que $$\sum_{i=1}^{n}i\neq \frac{n^{2}+n+2}{2}$$:
Paso base: $$n=1$$
$$\sum_{i=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{1}i=1$$
$$\frac{n^{2}+n+2}{2}=\frac{1^{2}+1+2}{2}=\frac{4}{2}=2$$
Se cumple el paso base ($$1\neq 2$$).
Paso inductivo: Supongamos que $$\sum_{i=1}^{k}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i=\left(\sum_{i=1}^{k}i\right)+k+1$$
Como $$\sum_{i=1}^{k}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}$$, entonces
$$\left(\sum_{i=1}^{k}i\right)+k+1\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}+k+1$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}+k+1$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+k+2}{2}+\frac{2k+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+k+2+2k+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{k^{2}+2k+1+k+1+2}{2}$$
$$\sum_{i=1}^{k+1}i\neq \frac{(k+1)^{2}+(k+1)+2}{2}$$
Se cumple el paso inductivo.
En respuesta a Nicolas Santiago Gammarano Lame
Re: Práctico 1, 1.1 - Ejercicio 4
A ver si entendí, el ejercicio nos pide demostrar esa ecuación a partir del paso inducctivo, o sea ignorar por completo la base inducctiva y de esa forma probar que se cumple para su sucesor.
Según la letra del ejercicio si se tiene que cumplir, pero al momento de hacer una verificación no se cumple para ningún numero, por lo que era falso ¿No es así?