Practico 1 Ejercicio 1 d) (Desigualdad de Bernoulli)
Número de respuestas: 5Re: Practico 1 Ejercicio 1 d) (Desigualdad de Bernoulli)
Paso base: $$n=1$$ (se podría tomar también $$n=0$$)
$$(1+x)^{n}=(1+x)^{1}=1+x\hspace{0.5cm} \forall x>-1$$
$$1+nx=1+1x=1+x\hspace{0.5cm} \forall x>-1$$
Se cumple el paso base.
Paso inductivo: Supongamos que se cumple $$(1+x)^{k}\geq 1+kx\hspace{0.5cm} \forall x>-1$$.
$$(1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)\geq (1+kx)(1+x)\hspace{0.5cm} \forall x>-1$$ (ya que $$x>-1\Rightarrow 1+x>0$$).
$$(1+x)^{k+1}\geq (1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^{2}\\=1+(k+1)x+kx^{2} \geq 1+(k+1)x\hspace{0.5cm} \forall x>-1$$ (ya que $$kx^{2}\geq 0$$).
$$(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x \hspace{0.5cm} \forall x>-1$$
Se cumple el paso inductivo.
Re: Practico 1 Ejercicio 1 d) (Desigualdad de Bernoulli)
Gracias por la explicación, pero aún así no me queda claro porque luego de factorizar lo pasas al otro lado de la igualdad, eso estaría mal porque invertiría el signo, adjunto la imagen para mostrar el fallo.
Re: Practico 1 Ejercicio 1 d) (Desigualdad de Bernoulli)
Como $$x>-1$$, entonces $$x^{2}\geq 0$$ (de hecho, esto se cumple $$\forall x\in \mathbb{R}$$).
Además, $$k$$ es un entero positivo, es decir $$k\geq 0$$, por lo que
$$kx^{2}\geq 0$$
Sumando $$1+(k+1)x$$ a ambos lados de la desigualdad anterior, se obtiene
$$1+(k+1)x+kx^{2}\geq 1+(k+1)x\hspace{0.5cm} \forall x>-1$$
Re: Practico 1 Ejercicio 1 d) (Desigualdad de Bernoulli)
Una pregunta, por qué
(1+x) ^ n +1 = ((1 + x)^n) (1+x)
?
Probablemente me esté olvidando de alguna propiedad de algo, pero no me doy cuenta de cuál.
Re: Practico 1 Ejercicio 1 d) (Desigualdad de Bernoulli)
Por la propiedad de potencia se toma en este caso (1+x) como un numero, te pongo como ejemplo que si se lo eleva al cubo se cumple la siguiente igualdad (1+x)^3=(1+x)(1+x)(1+x) el mismo numero multiplicado tres veces pero tambien se cumple esto ((1+x)^2)(1+x)=(1+x)^3
Bueno, algo parecido pasa con el número n (Que puede ser cualquiera) ¿Cual es el número que le sigue a n? Pues n+1
Entonces de ahí se obtiene que si (1+x)^n+1 puedo descomponerlo en factores (1+x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)........
En ese caso (1+x)n+1 es como sacarle un (1+x) a esa potencia, y el anterior número a n+1 es n por eso ((1+x)^n)(1+x)=(1+x)^n+1
En resumen
Si un numero (1+x) es elevado a otro por ejemplo 5 quiere decir (1+x)^5=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)
(1+x)^5=((1+x)^2)(1+x)(1+x)(1+x)
(1+x)^5=((1+x)^3)(1+x)(1+x)
(1+x)^5=((1+x)^4)(1+x)
Igual no te calientes mucho haciendo este ejercicio que está mal planteado, me parece que no tiene solución.