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Acordate que para calcular un flujo la superficie primero debe estar orientada, vos al usar la parametrización que te da la letra tenés que calcular $\phi_u \times \phi_v$ y ver si ese vector también tiene tercera coordenada negativa, si es así la parametrización preserva orientación y estás efectivamente calculando el flujo sobre $S$, si no es así, la parametrización está revirtiendo la orientación, y en verdad estás calculando el flujo  sobre $-S$, y por las propiedades de los flujos esos 2 son opuestos, o sea que si hacés las cuentas con una parametrización que revierta orientación al final tenés que cambiarle el signo al resultado.

Por otro lado, al aplicar Stokes no te olvides que a $\partial S$ tenés que darle la orientación borde, que es la siguiente: mirás la normal $n$ en un punto del borde y en ese mismo punto elegís un vector $t$ tangente a la curva (hay 2 posibles, con sentidos opuestos), si al hacer la regla de la mano derecha yendo de $n$ a $t$ por el ángulo más corto quedás apuntando hacia la superficie, entonces el vector $t$ que elegiste efectivamente te está indicando la orientación borde de $\partial S$, si no es así, tenés que orientar $\partial S$ según $-t$.

Hay que tener cuidado con esas parametrizaciones, fijate que $\phi_3$ por ejemplo como te la tomaste vos debería tener como dominio el intervalo $[\frac{\pi}{2}, 0]$, pero eso es el conjunto vacío, para arreglar eso tenés que tomarte $\phi_3(t) = (-t, 1, 0)$ con dominio $[-\frac{\pi}{2},0]$; y algo similar con $\phi_4$.