En la clase pasada quedo pendiente resolver la parte a) del Problema 1 del parcial 1 de 2014.
La letra decía:
Se quiere transmitir una señal de ancho de banda W centrada sobre una portadora fc mediante una guía de ondas rectangular de sección axb, con a>=b.
¿Cuanto vale W de forma que la señal solo se propage en el modo TE10 puro? (que no sea posible otro modo dentro de ese rango de frecuencias) y ¿qué relacion entre a y b hacen que este ancho de banda W sea máximo?
La idea para resolverlo es plantear las frecuencias de corte de los modos más básicos y ver según la relación entre a y b cual es la frecuencia de corte inmediatamente superior a TE10 , este rango será W. Luego observar que este rango depende de la relación entre a y b habiendo dos posibilidades y finalmente encontrar la relación para la cual el W es máximo:
Solución:
Las frecuencias de corte de los modos TEmn son:
fc = c/2*sqrt( (m/a)ˆ2 + (n/b)ˆ2 )
fc10 = c/2*sqrt(1/aˆ2)
fc11 = c/2*sqrt(1/aˆ2 + 1/bˆ2)
fc20 = c/2*sqrt(4/aˆ2)
fc01 = c/2*sqrt(1/bˆ2)
Siempre se cumple que:
1) fc10 < fc11
2) fc01 < fc11
Además como (a >= b) ==>
3) fc10 < fc01
4) fc20 < fc02
5) fc11 < fc02
6) fc20 < fc11
Finalmente, combinando las inecuaciones tenemos las siguiente dos posibilidades de interés:
i) fc10 < fc01 <= fc20 < fc11
ii) fc10 < fc20 <= fc01 < fc11
Sustituyendo las frecuencias de corte por sus expresiones en función de a y b:
i) Implica la nueva condicion fc01 <= fc20 <==> 1/bˆ2 <= 4/aˆ2 <==> 2b >= a
ii) Implica la nueva condicion fc20 <= fc01 <==> 4/aˆ2 <= 1/bˆ2 <==> a >= 2b
Finalmente las posibilidades para el rango donde solo se propaga el TE10 son:
i) b <= a <= 2b
---+-------+----
fc10 fc01
W = fc01 - fc10 = c/2b - c/2a
ii) 2b <= a
--+--------+---
fc10 fc20
W = fc20 - fc10 = c/a - c/2a = c/2a
Se puede observar que en el caso i) para b fijo y a en el cerrado [b,2b] el ancho W aumenta desde 0 a c/4b monotonamente. y por tanto el máximo valor en este interbalo es W = c/4b = c/2a cuando a=2b.
En cambio en el caso ii) para b fijo, a en el en semicerrado [2b,+inf), el ancho W decrece monotonamnete desde c/4b a 0 y por lo tanto el máximo valor en este intervalo es W = c/4b = c/2a cuando a=2b
Finalmente se concluye que el mayor ancho de banda W para que solo se propage el modo TE10 puro se da si a = 2b exáctamente y su valor es W = c/2a.
Saludos,
Juan Pablo.