Cal3: Cómo parametrizar un plano.

Estoy teniendo el mismo problema cada vez que se me presenta la obligación de parametrizar una parte de un plano no trivial.

Por ejemplo:

Sea $C$ el contorno del triángulo con vértices en $(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 2)$

Mi interes es parametrizar el interior del triángulo como motivación a aplicar Stokes en un problema $x$

Por GAL, yo sé que dos rectas generan un plano.

$z=-2x+2$

$z=-2y+2$

son las rectas de "los costados" del triángulo, por ende, combinaciones lineales de esas rectas generarían todo el plano que contiene el triángulo.

$-2x+2 = -2y+2$

$\Rightarrow x = y; z = z$

$\phi(u,v) = (u, u, v)$ con $u=[0,1], v=[0,2]$

Debería ser una parametrización válida de lo que busco, no? Porque nunca me dan bien los resultados finales y supongo que el error tiene que estar aca. Gracias.

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Mara Sere Zaffaroni - domingo, 28 de junio de 2015, 12:50

hola, yo tampoco estoy segura de como se hace pero te cuento mi razonamiento

la ecuación del plano que describes sería 2x + 2y + z = 2 ( con x,y,z >0)

entonces primero lo pienso para z = 0 y obtengo:

x = u

y = v(1 - u)

(con u y v entre 0 y 1)

y sustituyendo en la ecuación del plano llego a

z= 2(uv -u -v +1)

espero te sirva (si es que está bien..)

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Jana Rodriguez Hertz - domingo, 28 de junio de 2015, 17:46

perdón, no había visto tu respuesta, Mara,

acá también hay un error, en la 2da coordenada, ya que no es lineal, y eso no puede ser porque no te daría plana la superficie,

saludos

jana

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Jana Rodriguez Hertz - domingo, 28 de junio de 2015, 17:05

No está bien parametrizado así el plano. Si te fijás, las ecuaciones del plano que obtuviste son las de un plano que pasa por el origen, mientras que si hacés un dibujo de los 3 puntos se ve que el plano que los contiene no puede pasar por el origen.

Cómo se hace entonces. La superficie tiene dos parámetros, y contiene uno de los tres puntos (elegís el que vos quieras), y consta de los otros puntos que son combinación lineal de los vectores diferencia, así:

pi) (1,0,0) + u [(0,1,0)-(1,0,0)] + v [(0,0,2)-(1,0,0)],

o sea:

x=1 -u - v

y= u

z=2v

espero que se haya entendido, cualquier cosa, escribí

saludos

jana

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Martin Rizzo Cordano - domingo, 28 de junio de 2015, 17:23

Alguna ayuda para reconocer los extremos tal la integral quede sobre un triángulo que tenga como vertices esos 3 puntos?

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Jana Rodriguez Hertz - domingo, 28 de junio de 2015, 17:59

no estoy segura de entender la pregunta.

La pregunta es cuáles son los extremos de integración?

Las variables u y v varían entre 0 y 1, así que es una integral doble, cada una de las cuales varía entre 0 y 1

saludos

jana

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Martin Rizzo Cordano - domingo, 28 de junio de 2015, 18:10

mi pregunta es entre que valores tienen que estar u,v para que la superficie sea el triangulo de la letra

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Jana Rodriguez Hertz - domingo, 28 de junio de 2015, 18:29

u varía entre 0 y 1

v varía entre 0 y 1-u

saludos

jana

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Javier Stabile Ferreira - domingo, 28 de junio de 2015, 17:48

En ese caso como quedarian las restricciones para u y v? Porque si pongo u y v entre 0 y 1 queda bien para la y,z pero no para x

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Jana Rodriguez Hertz - domingo, 28 de junio de 2015, 18:28

tenés razón, estaba mal lo que puse,

u varía entre 0 y 1,

v varía entre 0 y 1-u

(si hacés variar los dos entre 0 y 1 queda el paralelogramo)

disculpas,

jana

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Javier Stabile Ferreira - lunes, 29 de junio de 2015, 11:26

Alguien me ayuda a ver que estoy haciendo mal? Porque no me da

Ejer

Re: Cómo parametrizar un plano.

de Mara Sere Zaffaroni - lunes, 29 de junio de 2015, 14:15

creo que tenes dos cosas:

al principio te falta multiplicarlo por la norma asi te queda la normal por el elemento de area dS (que es lo mismo que el elemento vectorial de superficie dS)

y (4u - 2)(1 - u) = -4u² + 6u - 2