Primero quiero aclarar que \( \log (1+a_n) \rightarrow 0 \) (por los comentarios parecería haber confusión al respecto). Pero, como dice Carlos, esto no nos dice nada sobre la convergencia de serie.
Discrepo con Javier respecto a ser "un montón" de criterio para clasificar series, lo cual hace el trabajo más fácil. Fijate los criterios que conozcas y trata de ver con cual podes usar que la serie de {a_n} converge (que es EL dato que tenes). Realmente no son muchos (son dos si no me equivoco).
Saludos.