En el ultimo ejercicio como sabemos que la segunda serie converge? porque sen(1/x) no es decreciente, se podia usar el equivalente con 1/x para ese caso?
Y en el ejercicio 2, como se llega a que la sumatoria de an diverge? no da 0 la integral al evaluar el cambio de variable sen x + cos x en los limites de integración?
La verdad que yo lo que no entiendo porque 1/n - an converge la verdad que si alguien me ayuda se lo agradecería mil... 1/n No es la armonica ?!?!
an si hacías ahi unas cuentas te quedaba 1/n√2n + 1/n entonces 1/n - an te queda -1/n√2n que converge (creo que te quedaba eso, lo que estoy seguro es que te quedaba "+ 1/n" que luego se anula en bn)
senx + cosx = u entonces (cosx - senx)dx = du entonces cuando x es 0 u es 1 y si x es Π/4 entonces u es 1/√2 + 1/√2 =√2
la integral te queda ∫1/un+1 de 1 a √2 que es -u-n/n = -√2-n/n +1/n = an, y ta, la sumatoria de 1/n diverge entonces la sumatoria de an diverge, creo que viene por ahí. Para la otra duda no tengo respuesta
Lo que pasa es que el seno en el intervalo [1,0) es monótono decrec. y creo que la serie va de 1 a infinito. osea el seno(1/x) va de [1,0)
Justamente ahí estaba la "trampita" a mi parecer, era sen (1/x) pero acotado a los enteros positivos, la sumatoria iba de 1 a +oo por lo tanto en ese intervalo es decreciente (arranca en 1 y se va haciendo más chico cuanto más grande es x, tendiendo a 0), entonces con eso, que la sucesión es positiva y que el límite es 0 por Leibnitz te daba que es convergente.
El otro no me dio el tiempo de hacerlo así que ni idea.
Ah claro tienen razón, pensandolo de esa manera, me estaba confundiendo con la grafica de sen 1/x que oscilaria.
Muchas gracias!!