Hola, tengo una duda al hacer este ejercicio. Llego a que la integral converge a 2/e pero no entiendo por qué es menor la integral que la serie y no igual, si alguien se anima a explicar se agradece :)
Para verlo, podés considerarte la función escalonada:
$$g(t) = f(n) \, \forall t \in [n,n+1)$$
siendo
$$f(t) = te^{-t}$$
O sea, esta función vale f(1) para todo t en [1,2), f(2) para todo t en [2,3), f(3) para todo t en [3,4), etc. Como la la función f es decreciente en $$[1,+\infty)$$, resulta:
$$g(t)\geq f(t)\,\forall t\in[1,+\infty)$$
cumpliéndose la igualdad sólo en los naturales.Entonces, dado que ambas son convergentes (asumo que esto ya lo probaste):
$$\int_1^{+\infty}g(t)\,dt > \int_1^{+\infty}f(t)\,dt$$
Ahora, como g(t) es constante de a pedazos, la impropia se puede calcular como la suma de las áreas de los rectángulos de base $$n+1-n=1$$ y altura $$f(n)$$, por lo que:
$$\int_1^{+\infty}g(t)\,dt = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}ne^{-n}$$
Entonces:
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}ne^{-n}> \int_1^{+\infty}f(t)\,dt$$
Saludos
Bárbaro, ¡muchísimas gracias!