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$$ \int_{ \sqrt{3} }^{ \sqrt{8} } \frac{1}{x\left( \sqrt{1+\left(x\right)^{2}} \right)} \,dx$$
hola, esa es la integral, me dice q use el cambio de variable U= $$ \sqrt{1+\left(x^{2}\right)} $$
lo q hice fue:
u= √ x^2 + 1
x= √ u^2 -1
derive du/dx y queda
du= x / [√ x^2 +1] dx
despejo dx y queda:
dx = [√ x^2 +1] du / x
luego sustituyo dx en la integral y queda:
integral de 1 / x √ x^2 +1 . √ x^2 +1 / x du
osea q puedo tachar las √ x^2 +1 y me queda
integral de $$ \int \frac{1}{x^{2}} \,du$$
sustituyo x por √ u^2 -1 pero al final no me queda la respuesta... me queda algo con arcotangente... que es lo q estoy haciendo mal?
Saludos
Por lo que pude entender, el procedimiento parece ser correcto. Creo que el error está cuando resolvés la integral luego del cambio de variable. Resumiendo, tomando $$u=\sqrt{x^2+1}$$ la integral queda:
$$\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}}\,dx=\int_2^3 \frac{1}{u^2-1}\,du$$
Ahora, la segunda integral se resuelve por fracciones simples (ojo que la derivada del arcotangente es $$\frac{1}{u^2+1}$$):
$$\frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right)$$
Entonces:
$$\int_2^3 \frac{1}{u^2-1}\,du=\frac{1}{2}\left(\int_2^3\frac{1}{u-1}\, du-\int_2^3\frac{1}{u+1}\, du \right)=\frac{1}{2}\left(\log(2)-\log(4)+\log(3)\right)=\log\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$$
La última igualdad sale de aplicar las propiedades de logaritmo:
$$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$$
$$a\log(b)=\log\left(b^a\right)$$
Saludos
bien, gracias.