Foro de estudiantes

La longitud de arco de la parábola $$f(x)=ax^2$$ en el intervalo $$[0,b]$$ es:

$$L=\int_0^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,\mathrm{d}x=\int_0^b \sqrt{1+(2ax)^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\int_0^{2ab} \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u$$

La segunda igualdad sale de aplicar el cambio de variable $$u=2ax$$. Para hallar la integral, hacés partes:

$$\int \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u=u\sqrt{1+u^2}-\int\frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}}\,\mathrm{d}u=u\sqrt{1+u^2}-\int\frac{1+u^2-1}{\sqrt{1+u^2}}\,\mathrm{d}u=u\sqrt{1+u^2}+\int\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\,\mathrm{d}u-\int \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u$$

Si te fijás, la última integral es la que querés hallar, por lo que la pasás sumando y dividís entre 2:

$$\int \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\left(u\sqrt{1+u^2}+\int\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\,\mathrm{d}u \right)+C$$

Y la segunda integral la tenés por la parte a).

Saludos