Hola necesito una mano para este ejercicio. Les cuento lo que hice...Para calcular G'(x) primero descubro la integral? O sea hago e^(-(x+1)^2) - e^(-(x)^2) entonces g es derivable porque es continua. Para hallar sus extremos hago la derivada segunda y ahí me queda dos sumandos con el numero e con x y x sumados con los que no puedo llegar a nada :/. No estoy seguro de nada de lo que hice en este ej agradezco que me den una mano. Saludos!!
Buenas,
primero, para ver que $$G(x)$$ es derivable, por el teorema fundamental del cálculo sabemos que la función
$$F(x)=\int\limits_{0}^{x}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x$$
es derivable (ya que $$e^{-x^2}$$ es continua $$\forall \, x \in \mathbb{R}$$) y su derivada es:
$$F'(x)=e^{-x^2}$$
Ahora, por la aditividad de la integral podemos escribir $$G(x)$$ como:
$$G(x)=\int\limits_{x}^{x+1}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{x}^{0}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x+\int\limits_{0}^{x+1}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x=-\int\limits_{0}^{x}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x+\int\limits_{0}^{x+1}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x$$
$$\Rightarrow G(x)= -F(x)+F(x+1)$$
Así, $$G$$ es derivable por ser suma y composición de funciones derivables. Por regla de la cadena:
$$G'(x)=g(x)= -F'(x)+F'(x+1)=-e^{-x^2}+e^{-(x+1)^2}$$
La función a la que llegaste es correcta, pero el argumento "g es derivable porque es continua" es falso.
Para los extremos de $$G(x)$$, mirás cuando se anula su derivada (o sea $$g(x)$$):
$$g(x)=0\Leftrightarrow e^{-x^2}=e^{-(x+1)^2}\Leftrightarrow x^2=(x+1)^2 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$$
Para ver que es un máximo, podés estudiar el signo de la derivada:
$$-e^{-x^2}+e^{-(x+1)^2}>0 \Leftrightarrow e^{-(x+1)^2}>e^{-x^2} \Leftrightarrow-(x+1)^2>-x^2\Leftrightarrow x<-\frac{1}{2}$$
Razonando análogamente llegás a que la derivada es negativa cuando $$x>-\frac{1}{2}$$. Así, en $$x=-\frac{1}{2}$$ hay un máximo.
Para estudiar los mínimos, sabemos que la función crece hasta $$-\frac{1}{2}$$ y decrece de ahí en adelante, y que la derivada se anula solo en ese punto. Además, por Teorema de Valor Medio para Integrales:
$$G(x)=(x+1-x)e^{-c^2}=e^{-c^2}\: \text{con}\: c \in [x,x+1]$$
Por lo tanto $$G(x)>0\, \forall x$$ y además:
$$\lim\limits_{x\to \infty}G(x)=\lim\limits_{x\to \infty}e^{-c^2}$$
Como $$c \in [x,x+1]$$, resulta que $$c\to\infty$$ cuando $$x\to \infty$$ y como además G es continua entonces:
$$\lim\limits_{x\to \infty}G(x)=\lim\limits_{c\to \infty}e^{-c^2}=0$$
Así, la función es siempre positiva, tiende a 0 en $$\pm\infty$$, crece hasta $$-\frac{1}{2}$$, punto en el que la derivada se anula, para decrecer de ahí en adelante. De todo este razonmaiento resulta entonces:
$$\max\limits_{x\in \mathbb{R}}\{G(x)\}=G\left(-\frac{1}{2}\right) \text{ y } \inf\limits_{x\in \mathbb{R}}\{G(x)\}=0$$
Saludos
Me quedo todo clarisimo, muchas gracias!