Hola quería consultar en la parte de calcular el error, no sé como darme cuenta a que debo elevar el 1,5 para que me quede menor a 0,001 ya que me queda: Re(x) = (-1) (1,5) / 8 ( 1 + c) Gracias!!
Como bien decís, la idea es acotar el valor absoluto del resto. Por Lagrange, el resto queda:
$$r_n(x)=f^{(n+1)}(c)\frac{x^{(n+1)}}{(n+1)!} \text{ con } c \in (0,x)$$
Si $$f(x)=\log(1+x)$$, resulta:
$$f'(x)=\frac{1}{1+x}\Rightarrow f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\Rightarrow f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}\Rightarrow f^{(4)}(x)=-\frac{2 \times 3}{(1+x)^4}$$
$$\Rightarrow f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n} \: \forall n \geq 1$$
Y el resto (en valor absoluto):
$$|r_n(x)|=\left|(-1)^{n}\frac{n!}{(1+c)^{n+1}}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|=\frac{1}{n+1}\frac{|x^{n+1}|}{|1+c|^{n+1}}$$
Ahora vos vas a estimar $$\log(1.5)=\log(1+0.5)=f(0.5)$$, por lo que $$c\in(0,0.5)$$ y el error queda:
$$|r_n(0.5)|=\frac{1}{n+1}\frac{|0.5^{n+1}|}{|1+c|^{n+1}}<\frac{0.5^{n+1}}{n+1}$$
La última desigualdad se cumple porque $$0<c<0.5\Rightarrow 1<1+c<1.5 \Rightarrow \frac{1}{1.5}<\frac{1}{1+c}<1$$.
Imponiendo que el resto sea menor a 0.001, obtenés una ecuación para n:
$$|r_n(0.5)|<\frac{0.5^{n+1}}{n+1}<0.001$$
que la podés resolver probando distintos valores de n (la sucesión $$\frac{0.5^{n+1}}{n+1}$$ es decreciente y tiende a 0, por lo que la ecuación tiene solución).
Saludos
Tengo una duda, yo hice eso mismo para despejar n, al despejarla me queda n=7
sin embargo cuando planteo el desarrollo de mc laurin de grado 7 para log( 1+x) y sustituyo x por 0.5, el error que me da comparado al resultado de la calculadora es de 0.01 y no de 0.001, alguna idea de cual es el error que estoy cometiendo?
El tema es que la calculadora también da un resultado aproximado (internamente lo que está haciendo es evaluar el polinomio de Taylor), por lo tanto la diferencia que estás viendo vos no es el error, sino la diferencia entre tu aproximación y la de la calculadora.
Saludos