1) Sí, el polinomio de Taylor de orden n de la suma es la suma de los polinomios de Taylor de orden n (siempre y cuando todas las funciones involucradas sean hasta orden n derivables).
2) El resto de Lagrange en realidad queda:
$$r_3(x)=6\sinh(c)\frac{x^4}{4!}=\sinh(c)\frac{x^4}{4}$$
con $$c \in(0,x)$$. Como $$x\in[0,1]$$ resulta $$c\in(0,1)$$. Como el seno hiperbólico es creciente y $$x^4$$ también, resulta:
$$0 \leq r_3(x)\leq\frac{\sinh(1)}{4}\leq\frac{3}{8}$$
La última desigualdad se cumple porque $$\sinh(1)\leq\frac{3}{2}$$.
Saludos