No entiendo a que se refieren con infinitesimo de mayor orden.... ¿ que es lo que hay que hacer en este ejercicio?
Buenas,
Cuando hablamos de infinitésimos, el orden lo define el grado más bajo. Por ejemplo $$x+3x^2+5x$$ es un infinitésimo de orden 1, mientras que $$x^2+45x^5+76x^8$$ es un infinitésimo de orden 2.
La idea del ejercicio entonces es elegir $$a$$ y $$b$$ de manera de "matar" los términos con grado más bajo del desarrollo de Taylor. Por ejemplo para:
$$f(x)=a(e^x-1)-bx^2-x$$
el polinomio de Taylor de esa función alrededor de 0 queda:
$$P_{f,n}(x)=a(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!})-bx^2-x$$
$$P_{f,n}(x)=x(a-1)+x^2(\frac{a}{2}-b)+a\frac{x^3}{3!}+\dots+a\frac{x^n}{n!}$$
Entonces tomando $$a=1$$ y $$b=1/2$$ se obtiene el infinitésimo de mayor orden posible.
Saludos
Bárbaro, y como hacemos para hallar la parte principal? muchas gracias!
Por definición, la parte principal es el término de menor grado del desarrollo de Taylor. En el ejemplo sería $$\frac{x^3}{3!}$$.