Bueno a ver que les parece esta:
Tenemos por hipotesis:
A partir de aca separamos en 2 posibilidades:
La primera:
$$a_{n} \ge a$$
Suponiendo eso, puedo quitar las barras del valor absoluto:
$$a_{n}-a< \xi _{1}$$
Elevamos a 1/3 ambos lados:
$$ \sqrt[3]{(a_{n}-a)} < \sqrt[3]{ \xi _{1}} $$
Esta propiedad si se cumple cuando $$c>b$$ (Esto lo deduje con unas simples cuentas, que me corrija el profesor si me equivoco)
Sustituyo an=c y a=b:
$$ \sqrt[3]{a_{n}} - \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{(a_{n}-a)} < \sqrt[3]{ \xi _{1}} $$
Por transitividad:
$$ \sqrt[3]{a_{n}} - \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{ \xi _{1}} $$
Como
$$ \sqrt[3]{a_{n}} \ge \sqrt[3]{a} $$
Puedo agregar las barras de valor absoluto nuevamente y obtengo:
Lo que verifica la tesis. Y queda demostrado.
Ahora viene la parte que se complica un poquito mas.
La segunda posibilidad:
Y es suponiendo $$a_{n}<a$$
Tenemos:
Quito las barras. (Adecuadamente, esta vez multiplicando por (-1) ya que $$a_{n}<a$$)
$$a-a_{n}< \xi _{1}$$
Elevo a la 1/3 ambos:
$$ \sqrt[3]{a-a_{n}} < \sqrt[3]{ \xi _{1}} _{}$$
Uso la misma propiedad de hoy, en este caso sustituyo a=c y an=b
$$ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a_{n}} < \sqrt[3]{ \xi _{1}} $$
(Aca hice la transitividad directamente sin escribirla, pero es lo mismo que hice en el caso 1)
Como $$a_{n}<a$$
$$ \sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{a_{n}} $$
Lo que me permite agregar las barras de valor absoluto nuevamente: (Discuplen mis barras de valor absoluto deformes, es que no se hacerlas con la herramienta de moodle)
|$$ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a_{n}} $$| $$< \sqrt[3]{ \xi _{1}} $$
|$$ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a_{n}} $$| = 
Asi que:
Tomamos $$ \xi = \sqrt[3]{ \xi _{1}} $$
Y se verifica la tesis.
Es decir, para ambos casos se verifica la tesis. Asi que queda demostrado..
Es masomenos lo que hice hoy, pero mucho mas firme el razonamiento.
Respecto a las 2 igualdades que recomendo Bernardo, no supe usarlas. Lo intente. Pero no les encontre lugar.