DUDA DEL EXAMEN

DUDA DEL EXAMEN

de Marcos Razzetti Gomez -
Número de respuestas: 5

Hola, tengo una duda del examen de ahora de febrero.

Tengo claro que por las 3 equivalencias si un campo es de gradientes la circulación atreves de una curva cerrada es 0. También por las 3 equivalencias se da al revés, o sea si la circulación de un campo atreves de una curva cerrada es 0 entonces ese campo es de gradientes.
En el examen el múltiple opción dos nos da un campo definido como F(x,y,z)=( 3z , -xy , xz²) y la integral a lo largo de la curva C : [x² + y²=3z ,  z = 1 ] da 0 , C es una curva cerrada no?
F está definido en todo punto de C, entonces como la circulación a lo largo de esa curva cerrada es 0 entonces por las 3 equivalencias F es de gradientes no?
Por otro lado hay un teorema que dice que si F es de gradientes entonces Rot (F)=0, pero acá el Rot(F)= (0,3-z²,-y).
Entonces tengo un campo que la circulación a lo largo de una curva cerrada da 0 osea que es de gradientes pero el Rotor del campo no es 0… eso no es posible, no? Me olvide de alguna hipótesis?

En respuesta a Marcos Razzetti Gomez

Re: DUDA DEL EXAMEN

de Diego Barreiro Indart -

Ese campo no es de gradientes. Como decís vos, basta ver que no es irrotacional. La equivalencia que mencionás es que la circulación sea cero en cualquier curva cerrada (en todas, no en una arbitraria). Dado un campo no irrotacional podés encontrar algún camino cerrado con circulación cero, pero el punto es al revés: va a haber algún camino cerrado donde no sea cero.

Acá la solución (después de esquivar esa trampa) era parametrizar y calcular la circulación nomás, o ver el flujo del rotor (por Stokes). Si parametrizás:

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (sen(t), cos(t), 1), con 0 ≤ t < 2π

Pero más fácil me parece el flujo. Tomás la superficie circular "chata" nomás, y ves que que el flujo vertical (el único que atraviesa esa superficie) es proporcional a y... Entonces como tenés una simetría alrededor del eje x ni precisás hacer ninguna integral, es claro que lo que suma en una mitad lo resta en la otra, y entre las dos mitades suman cero.

 

En respuesta a Diego Barreiro Indart

Re: DUDA DEL EXAMEN

de Marcos Razzetti Gomez -

si yo lo parametrice y me daba 0, pero cuando calcule el rotor y no daba 0 dije no es de gradientes, no puede ser 0. Disculpame pero sigo sin entender, yo tengo el teorema que si la integral en una curva cerrada es 0 entonces ese campo es de gradientes... aca la curva es cerrada y la integral es cero comoes posible qu eno sea de gradientes?

En respuesta a Marcos Razzetti Gomez

Re: DUDA DEL EXAMEN

de Diego Barreiro Indart -

Cuando es de gradientes la circulación es 0 en todas las curvas cerradas, y cuando es cero en todas las curvas cerradas es de gradientes. Eso es lo que vos estás buscando.

Acá lo único que sabés es que es cero en una curva cerrada, y eso no te dice absolutamente nada; ni que es ni que no es (fijate la misma circunferencia trasladada en dirección paralela al eje y por ejemplo; ninguna otra de esas da 0). Simplemente no podés sacar ninguna conclusión de eso en cuanto a que sea de gradientes o no.