Logro hallar la parametrización de la elipse (como curva), pero no sé cómo parametrizar la superficie encerrada por ella para aplicar Stokes.
Buenas;
Podes pensar la superficie encerrada por la elipse como una gráfica de una función f(x,y), para aplicar el teorema de Stokes.
Si tomás D={(u,v) ∈ R2: u2+v2≤1} y S={(x,y,z) ∈ R3: x2+y2≤1, x+z=1}
Luego φ:D->R3, φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) va a ser tu parametrización de S, donde:
x(u,v)=u
y(u,v)=v
z(u,v)=f(x,y)=f(u,v)=1-u
Aquí tenes que el borde de S es la elipse C.
Lo que sigue es, aplicando Stokes, resolver una integral doble en la región D, aplicas un cv a polares y sale fácil. Te recomiendo mirar la página 513 del libro Cálculo Vectorial de J. E. Marsden y A. J. Tromba (quinta edición), allí esta muy bien explicado el teorema de Stokes para gráficas. Tambien podes ver si asistias a los teóricos la dem del teorema de Stokes ya que al que iba se demostró para regiones de este estilo.
Saludos.
Hola, yo lo resolvi como decís vos, con la parametrización de S y el cv a polares pero me dio 8pi/3.
Cuando aplique Stokes, la intergral para resolver me quedo: -2y2-1.
Estará mal esto?
Gracias!
Observá que la normal inducida por la parametrización es (1,0,1), que es el vector normal del plano x+z=1, tomando esta normal la circulación queda en sentido antihorario vista de arriba. El ejercicio pide que la circulación sea en sentido horario vista desde arriba, la normal pasa a ser (-1,0,-1).
La integral es entonces 2u2+1 en la región D. Aplicas cv a polares tomando u=rcosθ; v=rsenθ con r de 0 a 1, θ de 0 a 2Π y te queda integral doble de (2r2cos2θ+1)rdrdθ. Lo que queda son cuentas, llegas a que la circulación es 3Π/2. Saludos.
Ahi va, me equivoque en el sentido de la normal.
Muchas gracias.
Saludos