hola:
antes que nada, la tira z a utilizar la elige uno y puede ser cualquiera, con la condición de que a) pertenezca al lenguaje y b) tenga al menos largo N (si esa fuera la constante). como las familias (tipos de descomposiciones) son más bien sintácticas, cuanto más "uniforme" sea z en su comienzo, menos familias vas a tener.
en tu caso, al elegir z = 0^N 1^N 0^2N tengo una única familia: u.v solo pueden ser ceros y w sería "el resto".
en cambio, si tomo z = 0^N/2 1^N/2 0^2, tengo más de una familia de descomposiciones: la anterior; v en los ceros y unos; v en los unos... se puede probar con esta tira, sí, pero, evidentemente, la demostración va a ser mucho más larga.
dada una descomposición (o varias, representadas en una familia) hay que encontrar un i que hace que u.v^i,w no pertenezca al lenguaje y remarco:
1- UN valor de i alcanza. lo que suceda con otros no importa (en particular i=1 es z, que pertenece al lenguaje).
2 - u.v^i,w no pertenezca AL LENGUAJE. que tenga la forma de la tira original no importa, lo que sí importa es que NO cumpla las condiciones del lenguaje.
saludos,
d.-