Buenas tardes. Hago una consulta. Para el ejercicio 6.1.a, para calcular el volumen de la montaña, hice un programa de acuerdo al seudocódigo presentado en la pág 9. Se me genera una confusión entre el punto 4 y el 5. En el punto 4 se define un estimador para la varianza de la funcion. En el punto 5 un estimador para la varianza de la integral. Entonces el estimador del punto 5 es la varianza del volumen de la montaña. Es así? Cual es el concepto del estimador del punto 4? Gracias.
Buenas, gracias por la consulta, que es bien interesante para repasar algunos aspectos conceptuales.
Lo primero sería que estamos considerando que el volumen de la montaña es fijo, determinístico. Es decir, consideramos que es un valor desconocido pero que no está sujeto a variaciones. Por supuesto es una aproximación (en escalas de largo tiempo, las montañas "nacen, crecen, y luego se erosionan y desaparecen", pero a nuestros efectos, no tenemos esto en cuenta).
Lo segundo, es que como no conocemos el volumen, queremos estimarlo por Monte Carlo.
En ese sentido, la función calcula la altura de la montaña en un punto dado, y el sorteo aleatorio del punto nos da un lugar al azar dentro de la región considerada. Por lo tanto, la función evaluada en un punto muestreado al azar es aleatoria (la altura de la montaña en cada punto es fija, pero como el punto elegido es aleatorio, la función evaluada allí es una variable aleatoria también). El punto 4 lo que calcula es la varianza de esa variable aleatoria (altura de la montaña en un punto elegido al azar dentro del hipercubo base -puede ser cero cuando el punto elegido está fuera de la base de la montaña).
Nuestra estimación por Monte Carlo se basa, no en un punto, sino en una muestra de N puntos, de los que promediamos la función evaluada en ellos (las alturas en cada punto). El estimador es el promedio de las alturas. Ese estimador en sí mismo es aleatorio, y tiene una varianza que es igual a la varianza de la altura calculada en un punto al azar, dividida por la cantidad de puntos muestreados. Esa varianza es lo que se estima en el punto 5.
Espero esta respuesta ayude a entender mejor estos conceptos, por supuesto si les quedan dudas, seguimos intercambiando. Saludos
Héctor
Entiendo lo anterior. Ahora, la varianza que obtengo en el punto 4 que es la varianza de la funcion f altura de la montaña, cuando n = 10^6, me da un valor de 3.5 aprox. Al calcular la varianza del punto 5 en donde hago la varianza de la altura dividida la cantidad de puntos muestreados, obtengo un valor de 3.5*10^-6 aprox. Al calcular el error del volumen, también obtengo 3.5*10^-6 aprox. Entonces no entiendo la parte b en donde se quiere tener un error menor a 10^-3, dado que ahora ya estoy con un error del estilo 10^-6. Espero se entienda mi duda.
Las fórmulas para estimación de error usan la desviación estándar, no la varianza; y tienen en cuenta también el nivel de confianza. Por lo tanto, al hacer las cuentas, va a quedar un n mayor que el de la parte a.
Saludos
Saludos