Foro para preguntas de Inducción Completa

Hola Federico.

Parece que no entendés muy bien los símbolos matemáticos que estás usando. El lenguaje matemático es muy extenso y tiene definiciones bien concretas. Lo mejor es incorporar su uso de a poco, ya que siempre puede ser sustituido por lenguaje natural sin perder contenido y su uso sirve sólo para facilitar la escritura.

El ejercicio pide probar que la desigualdad $a_n \geq 3^n$ se cumple para todos los valores mayores o iguales que 1, pero repetidamente escribís que vas a probar que se cumple $\forall n \in \mathbb{Z}^{+} : n \geq 3$. Lo primero es que después del cuantificador universal "para todo" nunca va dos puntos. Si se quiere decir "para todo elemento que cumpla x condición" se puede hacer con palabras, pero el uso de los cuantificadores como sufijos (es decir después de la afirmación que cuantifican) ya es un abuso de notación en sí mismo. La forma correcta de hacer tal afirmación si se quisiera (cosa que de nuevo, no es lo que pide este ejercicio pero aprovecho la oportunidad para explicarlo) sería $\forall n \in \mathbb{Z}^{+}, n \geq 3 \implies a_n \geq 3^n$.

 

En ningún momento definiste explícitamente la propiedad a la que le vas a aplicar el principio de inducción. Escribiste $P(n)$ al principio pero lo que sigue no es una proposición abierta (es decir con una variable $n$ indeterminada) porque justamente la cuantificaste. La proposición en este caso debería ser $P(n) := a_n \geq 3^n$.

 

Después de decir que vas a aplicar el PIC decís que vas a probar que $P(n) \forall \mathbb{Z}^{+} : n \geq 3$ acá además de la aclaración que ya hice arriba directamente pusiste un cuantificador sin ninguna variable que cuantifique. El punto clave acá es que los símbolos matemáticos no son sólo atajos para escribir palabras. Tienen un significado muy preciso y bien definido, y con ello un uso limitado.

 

En el paso base decís que vas a probar $P(4)$ lo cual contradice lo que dijiste más arriba, ya que si lo fueras a probar para todo entero mayor o igual que 3 tu paso base debería consistir en probarlo para 3.

 

En el mismo paso base está entremezclado el enunciado y la demostración del mismo. Corresponde primero enunciar lo que se va a probar, luego anunciar que se va a comenzar la demostración y recién ahí empezar a demostrarlo. Ejemplo:

 

P.B.: T) $P(4)$

Dem:

          ...

 

En el enunciado del paso inductivo no hace falta reescribir qué quiere decir $P(k)$ y $P(k+1)$. Para eso es que se define una vez al principio. Dicho esto si la definición es la que dije más arriba (que es lo que se infiere de lo que escribiste) lo que decís en la hipótesis inductiva que debería ser $P(k)$ está mal, puesto que la afirmación debería ser sobre $a_k$ y no $a_{k+3}$. En la tesis inductiva pasa algo peor porque $k$ no cambia del lado izquierdo de la desigualdad pero sí del lado derecho.

 

A esta altura queda claramente evidenciada la importancia de definir explícitamente la propiedad. Ya no se sabe si es 

$P(n) := a_n \geq 3^n$,

$P(n) := a_{n+3} \geq 3^n$ o

 

Sí es necesario decir que vas a empezar la demostración del paso inductivo al igual que como lo expliqué para el paso base.

 

De todas las cuentas que hiciste en la demostración del paso inductivo no se llega a ninguna conclusión, puesto que no pudiste demostrar ninguna de las desigualdades que escribiste. La idea de este ejercicio es usar el principio de inducción fuerte donde la hipótesis inductiva consta en suponer que la propiedad se cumple no sólo para un valor fijo de k si no para todos los valores entre el primero probado en el paso base y un valor n dado, y la tesis inductiva consta como siempre en que la propiedad se cumple para n+1. Usando esto para k = n, n-1 y n-2 la demostración sale en un par de líneas sin mucha dificultad.

 

Te invito a que vuelvas a intentar la demostración teniendo en cuenta todos los comentarios que te hice y la vuelvas a subir para que la revisemos.

 

Saludos,

Gabriel