Foro Práctico 1

Buenas! Te comento cómo lo resolví yo, capaz logras entender mejor.
En el versor $\hat{i}$ tengo las mismas ecuaciones que vos, es decir, $T\sin\theta=F_{2\to1}$ y en $\hat{j}$ también lo mismo ($T\cos\theta=mg$)

Traté de despejar la tensión de la ecuación en el versor $\hat{j}$ tal que $\displaystyle T=\frac{mg}{\cos\theta}$ y luego usé ese valor de $T$ en la ecuación de $\hat{i}$, quedándome:
$\displaystyle T\sin \theta = \left( \frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta=mg\tan\theta=F_{2\to1}$ , es decir, $mg\tan\theta=F_{2\to1}$ pero por letra (creo que es pequeñas oscilaciones) sabés que $\tan\theta \approx \sin\theta$ entonces tenés $mg\sin\theta = F_{2\to1}$

 

Los dos despejamos a $\sin\theta$ como $\displaystyle \sin\theta = \frac{x}{2L}$ así que nos quedaría $\displaystyle mg\sin\theta = mg \cdot \frac{x}{2L} = \frac{1}{4\pi \epsilon _0} \cdot \frac{q^2}{x^2} = F_{2\to1}$ (por las dudas escribí a la fuerza eléctrica que hace la carga 2 sobre la carga 1 como $\displaystyle F_{2\to1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2}$)

 

Y ahí ya despejas $q$ que te queda $\displaystyle q = \left(  \frac{2\pi\epsilon_0mgx^3}{L}\right)^{\frac{1}{2}}$

 

(paso foto del planteo por si no queda del todo claro)