Práctico 1 - Ejercicio 4

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Mateo Roman Allonca Maldonado -
Número de respuestas: 13

Hola, tengo una duda sobre el siguiente ejercicio:

image.png

No se como como conluír que la tésis es cierta. Primero probamos la base, en este caso p(10) = 100 \geq11

luego en el paso inductivo, tenemos que la hipótesis es n^2 \geq n+1  

Mientras que en la tésis es (n+1)^2 \geq n+2

¿Qué procedimiento necesito hacer para probar la tésis? Sé que necesito llegar a partir de n^2 \geq n+1 a que (n+1)^2 \geq n+2

Se me ocurre desarrollar el binomio, lo que queda n^2+2n+1 \geq n+2  

¿Tengo que sumar o restar de ambos lados para llegar a la misma igualdad?

(Editado por Pablo Romero - envío original domingo, 9 de marzo de 2025, 16:31)
En respuesta a Mateo Roman Allonca Maldonado

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Mateo Roman Allonca Maldonado -
Hola, ya lo resolví porque vi el teórico de openfing. Dejo a continuación por si alguien quiere saber:
Si tenemos que n^2 \geq n+1 y queremos probar (n+1)^2 \geq n+2 tenemos que n^2+2n+1 \geq n+2 pero sabíamos por hipótesis: n^2 \geq n+1 \Rightarrow  n^2+2n+1 \geq n+2+2n+1
 
por lo tanto 3n+2 \geq n+2 \Rightarrow 2n \geq0

(Editado por Pablo Romero - envío original domingo, 9 de marzo de 2025, 17:13)
En respuesta a Mateo Roman Allonca Maldonado

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Javier Roal Rey Martiletto -
Hola, perfecto, solo hay un error de digitación cuando sumas 2n + 1 de los dos lados. Pero después lo terminas bien.

Solo una anotación. Llegás por hipótesis a que:
(n+1)^2 \geq 3n + 2
y
3n + 2 \geq n + 2 \quad \text{(por ser \( n \) natural)}.
Entonces, por transitiva:
(n+1)^2 \geq n + 2.

El final de:
2n \geq 0
no lo veo necesario.

(Editado por Pablo Romero - envío original domingo, 9 de marzo de 2025, 19:17)
En respuesta a Javier Roal Rey Martiletto

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Felix Miguel López Rodríguez -
Hola, consulta, he estado analizando este ejercicio y quería saber si la forma en que había logrado resolverlo estaba bien.
En mi caso:
Llegué a que n² +2n+1 ≥ n+2
Entonces, sabiendo que n² ≥ n+1
Sustituyo a n² por n+1 asumiendo lo anterior. Quedando entonces que:
n+1+2n+1 ≥ n+2
3n+2 ≥ n+2
Por estar trabajando en (N conjunto) sabemos que se satisface esa desigualdad y se demuestra la tesis. Mi razonamiento está mal? No podría sustituir a n² en la desigualdad?

(Editado por Pablo Romero - envío original domingo, 9 de marzo de 2025, 19:55)

En respuesta a Felix Miguel López Rodríguez

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Pablo Romero -
Buenas noches: coincido con la acotación de Javier.

Felix: tu razonamiento es correcto, aunque falta que aclares en qué paso aplicaste la hipótesis inductiva. 
Además, asumo que con N te refieres al conjunto de los números naturales (es decir, \mathbb{N}).
Nos indicaste únicamente tu remate y no el desglose completo de la demostración desde el inicio.

Digamos que queremos probar que la proposición P(n) es cierta para cada natural n tal que n pertenece al conjunto S, donde S es algún subconjunto no vacío de los números naturales (que satisface por lo tanto el principio del buen orden). 
 
Tengan en cuenta que el empleo correcto del principio de inducción completa requiere, primeramente, definir la proposición P(n), 
definir el conjunto S, y dejar claro el enunciado de la proposición que se quiere probar. En este caso queremos probar que \forall n\in S, \, \, P(n). Luego, se debe aclarar al inicio de la demostración que como estrategia de demostración se va a emplear el principio de inducción completa, que requiere probar tanto el paso base como el paso inductivo. 

Luego, se debe enunciar claramente el paso base y demostrarlo (no alcanza con verificarlo). Por último, se debe enunciar correctamente en un renglón la hipótesis inductiva, se debe enunciar claramente en otro renglón la tesis inductiva, y se debe incluir una demostración del paso inductivo. Por último, se remata la demostración explicando que el conjunto S satisface el principio del buen orden, por lo que es posible emplear el principio de inducción completa. Por lo tanto, es posible introducir el cuanticador universal, y se cumple que \forall n\in S, \, \, P(n).

Cada demostración que emplee el principio de inducción completa deberá tener la forma anterior (esto aplica no solamente en el caso concreto sino cada vez que empleen el principio de inducción completa). Lo enfatizo porque con el equipo docente hemos leído "abreviaturas" o taquigrafías donde omiten una o varias de las partes anteriores, perdiendo puntos innecesariamente en la parte de desarrollo. Espero que tengan en cuenta los comentarios anteriores, y ojalá que les permita obtener todos los puntos en el ejercicio de desarrollo que eventualmente aparezca en el parcial sobre inducción completa.

Cordiales saludos,
Pablo.
En respuesta a Pablo Romero

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Felix Miguel López Rodríguez -
Intenté hacerlo lo más completo posible, aunque deduzco que tengo problemas de estructuración, ¿así estaría bien?
Resolución Ejemplo #4 Práctico 1
1. Probaremos que para todo entero n tal que n≥10 se cumple que:
P(n) = n² ≥ n+1, ∀n∈N; n≥10

2. Paso Base: Demostrar que P(n) se cumple el primer valor de n para el que queremos que se cumpla, es decir, n=10.
P(10): Sustituir n=10
10² ≥ 10+1
100 ≥ 11
Se cumple, por tanto, P(n) es válida para el menor valor de n posible.

• Paso Inductivo: Probaremos que ∀n∈N; n≥10, P(n) ⇒ P(n+1)
• Hipótesis Inductiva: P(n)
n² ≥ n+1
• Tesis Inductiva: P(n+1)
(n+1) ² ≥ (n+1) +1
• Demostración del Paso Inductivo:
(n+1) ² ≥ n+2
n²+2n+1≥ n+2
Asumiendo que n² ≥ n+1 por la Hipótesis Inductiva, entonces sustituimos a n² en la desigualdad:
n²+2n+1≥ n+2 ⇒ n+1+2n+1≥ n+2 ⇒ 3n+2≥ n+2 ⇒
3n+2−n−2 = 2n≥0
Se cumple porque n∈N, por tanto la desigualdad se satisface ∀n∈N.
Como probamos que el Paso Base P(10) y el Paso Inductivo P(n+1) se cumplen. Concluimos por el principio de Inducción Completa que:
∀n∈N; n≥10, P(n).

Pd: Aún no sé como escribir fórmulas matemáticas acá.

(Editado por Pablo Romero - envío original lunes, 10 de marzo de 2025, 00:52)

En respuesta a Felix Miguel López Rodríguez

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Javier Roal Rey Martiletto -

Hola Félix

Va sobre todo a modo de pregunta-observación, ya que yo también estoy haciendo este práctico.
1) Veo que partis de la tesis para llegar a verificar la desigualdad. Creo que sería más claro partir de la hipótesis y llegar a la tesis. No es que esté mal pero puede generar confusiones, en particular terminar sin querer afirmando lo que en principio queremos demostrar.

Yo partiría de la desigualdad de la hipótesis: n^2\,\geq\,n+1

Y llegar a la tesis sumando elementos de los dos lados de la desigualdad: n^2+2n+1\,\geq\,n+1+2n+1

2) Por otro lado, me pregunto si es correcta la sustitución que hiciste, ya que surge de una desigualdad. Capaz que es posible porque mantiene el orden de la desigualdad, pero no estoy seguro.

(Editado por Pablo Romero - envío original lunes, 10 de marzo de 2025, 02:16)
En respuesta a Javier Roal Rey Martiletto

Práctico 1 - Ejercicio 4

de Pablo Romero -
Buenos días.

Felix: pienso que el principal error de tu desarrollo radica en confundir el concepto de "verificar" con el de "demostrar".

Esto queda en evidencia en tu esbozo de prueba del paso base. Para probar una desigualdad lo correcto es evaluar el miembro izquierdo, luego el miembro derecho, y finalmente comparar para concluir con la demostración de dicho paso base. En tu desarrollo "asumiste" que se cumple el paso base y luego realizaste cálculos en ambos miembros, lo que es incorrecto.

En el caso concreto quieres probar que P(10) es cierta.
Por un lado, tenemos que 10^2=100.
Por otro lado, tenemos que 10+1=11.
Pero entonces, como sabemos que 100\geq 11, se cumple que 10^2 \geq 10+1, y el paso base es correcto.

Tal como dijo Javier, no es correcto partir de la tesis y "reducirla" hasta la hipótesis. Debe ser justamente al revés.

Felix: te agradezco que hayas compartido tu desarrollo. Esto te permite no solamente aprender y ver las prácticas que buscamos adquieran en el desarrollo de demostraciones empleando el principio de inducción completa, sino también que otras/os estudiantes vean errores típicos y los rectifiquen. Espero que así ocurra.

Cordiales saludos,
Pablo.
En respuesta a Javier Roal Rey Martiletto

Re: Práctico 1 - Ejercicio 4

de Emiliano Exequiel Gandarias Martinez -
porque el sentido de la inecuación se da vuelta?
En respuesta a Emiliano Exequiel Gandarias Martinez

Re: Práctico 1 - Ejercicio 4

de Pablo Romero -
Buenas noches Emiliano: no entendí tu pregunta.

Es conveniente que nos indiques a qué inecuación te refieres.
En respuesta a Pablo Romero

Re: Práctico 1 - Ejercicio 4

de Michael Ruiz -
Buenas noches,

Me podrás indicar si mi resolución se considera correcta? ( el ejercicio entiendo que lo cambiaron por eso es distinto al planteado por los compañeros)
 
image.png
En respuesta a Michael Ruiz

Re: Práctico 1 - Ejercicio 4

de Pablo Romero -
Buenas noches Michael: tu demostración iba muy clara hasta el momento en el que inicias la demostración del paso inductivo.

Luego pones signos de pregunta en muchos puntos y cancelas cosas, por lo que un lector no puede adivinar cuál es el orden de los pasos que ejecutaste. Por las dudas te aclaro que está prohibido empezar por la tesis inductiva, puesto que dicha tesis es lo que quieres demostrar (a lo que quieres llegar), y usualmente se utiliza la hipótesis inductiva para lograrlo.

Te sugiero que primero ordenes los razonamientos para identificar en qué orden deben aparecer. Luego que intercales, en distintas líneas, los pasos de a uno y los expliques en castellano.

Mi sospecha es que tu lógica es correcta, y que simplemente explicando de manera desglosada y más generosa cada paso finalmente va a quedar bien dicha demostración.

Por último, ten en cuenta que una vez que probaste tanto el paso base como el paso inductivo, debes decir que es posible aplicar entonces el principio de inducción completa, lo que te habilita a introducir la validez del cuantificador universal sobre la proposición abierta P(n) que definiste al inicio y así completar la demostración de lo que se pide en el ejercicio.

Cordiales saludos,
Pablo.