En este ejercicio hay que encontrar el n0 para seguir con el paso base a partir de este, ¿se puede hacer por prueba y error o hay algún método para encontrarlo?
Hola,
Depende a qué le llamemos método. Un algoritmo que funcione automáticamente no, porque puede ser que aparezcan valores de n para los que la propiedad sea cierta, pero que no sirvan como base inductiva. En el ejemplo que mencionas, para n=0 la propiedad se satisface, pero no es cierta para todos los naturales (esto lo afirmo porque ya lo hice).
Mi sugerencia general de algo que se parece a un algoritmo (que lo tiene que "pilotar" quien lo esté aplicando) es que intentes primero probar el paso inductivo y te fijes para qué naturales tu prueba funciona. Por ejemplo, si
para todo 
, eso significa que con la prueba que hallaste para el paso inductivo, la propiedad se puede probar por inducción sólamente a partir de 
. Luego quedaría buscar el primer 
que la cumpla (y ahí sí tantearía los naturales uno por uno) y a partir de ahí ya sabes que tienes una prueba por inducción. Siguiendo esta idea, en este ejemplo no necesitarás fatigarte mucho para encontrar tu base, pero es importante que mires con un ojo crítico tu prueba del paso inductivo.
Lo importante de ese ejercicio es que te quede claro que no necesariamente el primer natural que cumple una propiedad es una buena base inductiva, porque quizá el paso inductivo no funcione a partir de ahí. Su valor didáctico es exactamente ese.
Saludos cordiales,
MAURICIO.
Depende a qué le llamemos método. Un algoritmo que funcione automáticamente no, porque puede ser que aparezcan valores de n para los que la propiedad sea cierta, pero que no sirvan como base inductiva. En el ejemplo que mencionas, para n=0 la propiedad se satisface, pero no es cierta para todos los naturales (esto lo afirmo porque ya lo hice).
Mi sugerencia general de algo que se parece a un algoritmo (que lo tiene que "pilotar" quien lo esté aplicando) es que intentes primero probar el paso inductivo y te fijes para qué naturales tu prueba funciona. Por ejemplo, si
para todo , eso significa que con la prueba que hallaste para el paso inductivo, la propiedad se puede probar por inducción sólamente a partir de . Luego quedaría buscar el primer que la cumpla (y ahí sí tantearía los naturales uno por uno) y a partir de ahí ya sabes que tienes una prueba por inducción. Siguiendo esta idea, en este ejemplo no necesitarás fatigarte mucho para encontrar tu base, pero es importante que mires con un ojo crítico tu prueba del paso inductivo.Lo importante de ese ejercicio es que te quede claro que no necesariamente el primer natural que cumple una propiedad es una buena base inductiva, porque quizá el paso inductivo no funcione a partir de ahí. Su valor didáctico es exactamente ese.
Saludos cordiales,
MAURICIO.
Muchas gracias Mauricio
Un gusto. ¡Buen trabajo!
MAURICIO.
MAURICIO.