CDIVV-2S: Proposición 2.10 (ejercicio de los apuntes)

Hola, hice la parte a) de este ejercicio y quería saber si está bien hecho. Dejo a continuación la letra:

Lo que hice fue tomar un ejemplo en específico de dos sucesiones y tomar por absurdo que $lim an \geq lim bn$

Re: Proposición 2.10 (ejercicio de los apuntes)

de Mateo Musitelli - domingo, 25 de agosto de 2024, 18:47

Hola Mateo, ¿cómo estás?
Tu demostración está basada en un ejemplo, lo cual no califica como demostración por absurdo, cuidado con ello.
Por otro lado, cuidado con eliminar el límite en pasos sucesivos de una misma resolución, siempre que figure la variable en cuestión,

$\lim_{x \to \infty}$ también debe figurar.

Mi sugerencia para ésta demostración, sería considerar las condiciones de límite de ambas sucesiones, y luego aplicar la hipótesis de que

$a_n\leq b_n$ .

Quedo atento a tus comentarios.

Saludos,

Re: Proposición 2.10 (ejercicio de los apuntes)

de Mateo Roman Allonca Maldonado - lunes, 26 de agosto de 2024, 12:09

Hola Mate, ¿Me podrias dar un ejemplo de como empezarlo? Es que no me doy cuenta con lo que me decis. Saludos.

Re: Proposición 2.10 (ejercicio de los apuntes)

de Mateo Musitelli - lunes, 26 de agosto de 2024, 19:23

Hola Mateo, aquí te dejo una idea con la que iniciar:

La convergencia de $a_n$ establece:

$a_n \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} A \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists n_A \in \mathbb{N} : |a_n - A| < \varepsilon, \forall n \geq n_A\$

Y la de $b_n$ establece:

$b_n \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} B \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists n_B \in \mathbb{N} : |b_n - B| < \varepsilon, \forall n \geq n_B$

Ahora bien, por hipótesis, el ejercicio establece que $a_n\leq b_n,\forall n$ .

¿Te das cuenta de cómo relacionar las desigualdades que proporciona la condición de límite con la hipótesis del ejercicio?

Quedo atento a tu respuesta.

Re: Proposición 2.10 (ejercicio de los apuntes)

de Mateo Roman Allonca Maldonado - martes, 27 de agosto de 2024, 14:56

Hola, o sea que tengo por hipótesis que |an - A |

$\leq$ |bn-B|

¿Es correcto?

Entiendo que la hipótesis me dice que an

$\leq$ bn pero no logro entender como puedo aplicar lo que me dijiste para llegar a que lim an

$\leq$ lim bn

Re: Proposición 2.10 (ejercicio de los apuntes)

de Mateo Musitelli - martes, 27 de agosto de 2024, 17:44

Hola Mateo:

La hipótesis del ejercicio establece que

$a_n\leq b_n, \forall n in \mathbb N$ .

Mi comentario va hacie generar lo siguiente:

Para

$a_n$ :

$|a_n-A|< \varepsilon_1, \forall n\geq N_A \Rightarrow A-\varepsilon_1 < a_n < A+\varepsilon_1 , \forall n\geq N_A$ .

Para

$b_n$ :

$|b_n-B|< \varepsilon_2, \forall n\geq N_B \Rightarrow B-\varepsilon_2 < b_n < B+\varepsilon_2 , \forall n\geq N_B$ .

Considerando la hipótesis, es posible ver que:

$A-\varepsilon_1 < a_n \leq b_n < B+\varepsilon_2, \forall n \geq N$ .

Con una correcta elección de

$N$ ,

$\varepsilon_1$ y

$\varepsilon_2$ (te dejo ese análisis), es posible concluir la demostración del ejercicio.

Saludos,

M