Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Efectivamente la idea es aplicar el teorema fundamental en su versión general (o lo que es lo mismo teo fundametal + regla de la cadena)

Si  $\displaystyle H(x) = \int_{1}^{e^x + x} f(t)dt$ entonces $H^{\prime}(x) = (e^{x} + 1)f(e^{x} + x)$

Por otro lado $H(x) = \sin(\pi x)$ luego $H^{\prime}(x) = \pi \cos(\pi x)$

Es decir $(e^{x} + 1)f(e^{x} + x) = \pi \cos(\pi x)$

No preguntan por $f^{\prime}(1)$, sin emabrgo en la ecuacion anterior tenemos $f(e^{x} + 1)$ es decir debemos encontrar un $x$ tal que $e^{x} +x = 1$.

Como $x = 0$ cumple que $e^{x} + x = 1$. Ese es el valor de x que debemos tomar.

Evaluando la eucación $(e^{x} + 1)f(e^{x} + x) = \pi \cos(\pi x)$ en  $x = 0$ tenemos que

$(e^{0} + 1)f(e^{0} + 0) = \pi \cos(\pi \times 0)$ es decir $2f(1) = \pi$

Si tienes alguna duda del procedimiento vuelve a escribir

Saludos