Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Revisemos las cuentas

Cuando tenemos una funcion de la forma $\displaystyle H(x) = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{g(x)}f(t)dt$ con $g$ derivable y $f$ continua entonces

$H^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) f(g(x))$

En este caso $g(x) = \arcsin(x)$ por lo que $g^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Lo puedes deducir a partir de la derivada de la inversa.

Mientras que $f(t) = ¢os^{2}(t) = 1 - \sin^{2}(t)$. Por tanto $f(g(x)) = 1 - \sin^{2}(\arcsin(x)) = 1 - x^{2}$

Resumiendo

$\displaystyle H(x) = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{\arcsin(x)}\cos^2(t)dt$

y

$\displaystyle H^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \times (1 -x^{2}) = \sqrt{1 - x^{2}}$ recuerda que $x \in [-1,1]$

Para finalizar el ejercicio puedes revisar que $H^{\prime} \geq 0$ en el intervalo que corresponde estudiar, y por tanto el maximo se da en 1.

Saludos