GAL2-1S: no me sale el ejercicio

Hola Andrés.

Si te fijas en la opción C, que 0 sea val. propio de T equivale a que existe una matriz A 2x2 no nula tal que $T(A)=0_{2\times 2}$ .

En componentes, queda que $ka_{ij}+(1-k)a_{ji}=0\;\forall i,j=1,2$ .

Esto es, $a_{ij}=\frac{k-1}{k}a_{ji}\;\forall i,j=1,2$ , y como la igualdad tiene que valer para cualquier i, j =1,2, llegamos a 4 ecuaciones de las que se deduce que todos los $a_{ij}$ deben ser 0.

Entonces no existe una matriz A no nula tal que $T(A)=0_{2\times 2}$ por lo que 0 no es valor propio, cualquiera sea el valor de k.

Por tanto la opción C es verdadera.

Saludos

Re: no me sale el ejercicio

de Juan Piccini - martes, 2 de julio de 2024, 15:13

Hola de nuevo, revisando las cuentas me equivoqué en mi respuesta anterior, en el sistema de ecuaciones la matriz queda no invertible por lo que admite soluciones no triviales, por tanto no es la opción C.

Disculpas y saludos.

Re: no me sale el ejercicio

de Juan Piccini - martes, 2 de julio de 2024, 15:35

Si planteamos la igualdad y pasamos a componentes, el sistema 4 x 4 queda $\left\lbrace\begin{matrix} (k-\lambda)a_{11}+(1-k)a_{11} & =0 \\ (k-\lambda) a_{12}+(1-k)a_{21}& =0\\ (k-\lambda) a_{21}+(1-k)a_{12}&=0\\(k-\lambda) a_{22}+(1-k)a_{22}&=0\end{matrix} \right.$ .

Esto te permite discutir $\lambda$ y k.

Otra forma (tal vez menos complicada) es hallar la matriz asociada a T en las bases canónicas, a partir de ahí se sigue.

Saludos